Question

如圖所示，一個長L₁=0.9m、寬L₂=0.6m的光滑斜面體，其傾角θ=30°．有一長度L=0.4m的輕質繩一端固定在距斜面頂點A為L=0.4m斜面邊緣的O點上，另一端系一質量m=1kg的小球．現把小球拉至頂點A處，以v₀=1m/s的初速度沿斜面頂邊緣水平拋出．（g取10m/s²）
（1）剛開始小球做什么運動？并說明理由．
（2）求小球運動至斜面邊緣B點時受到繩子的拉力F_T．
（3）若小球運動至B點時繩子剛好斷了，求小球從斜面上飛出后落地點與最初拋出點在地面上投影點的距離L₃．

Answer 1

（1）小球沿斜面向下的加速度a=

mgsinθ

m

=5m/s²
其在斜面上運動可等效看作在g′=a=5m/s²的豎直平面上的曲線運動
由于小球剛拋出的速度v₀＜

g′L

=

2

m/s，故其開始做類平拋運動．
（2）如圖所示，設它運動時間t秒至與水平線的夾角為α時，繩子剛好拉直．由平拋運動公式有：
  L+Lsinα=

1

2

g′t 2①
  Lcosα=v₀t②
①②聯立并代入數據解得：α=0°，t=0.4s
α=0°，說明小球拋至繩子在水平線時剛好拉直．在拉直瞬間，由于繩子不可伸長，故小球水平速度瞬間變為零，只存在沿斜面向下的速度v_y
  v_y=g′t=5×0.4m/s=2m/s
以后小球在繩子束縛下沿斜面向下做圓周運動，設至B點時的速度為v₂．根據機械能守恒定律，有：
   mg′L+

1

2

mv_y²=

1

2

mv₂²
代入數據解得：v₂=

8

m/s
根據牛頓第二定律，有：F T-mg′=m

v 2 2

L

代入數據解得：F_T=25N
（3）繩斷后小球以v₂做平拋運動，由題意知其高度h′=0.05m，設至落地所需時間為t′，
根據h=

1

2

gt′ 2解得：t′=0.1s，水平位移x=v₂t′
而本題斜面有效長度在地面投影長度L₄=v₂t′=0.4

3

m
所求的距離L 3=

x 2+L 4 2

=

0.56

m(或≈0.75m)
答：
（1）剛開始小球做類平拋運動．
（2）小球運動至斜面邊緣B點時受到繩子的拉力F_T=25N．
（3）若小球運動至B點時繩子剛好斷了，小球從斜面上飛出后落地點與最初拋出點在地面上投影點的距離L₃≈0.75m．