Question

（25分） 如圖所示，在一個勁度系數為 k的輕質彈簧兩端分別拴著一個質量為 m 的小球A和質量為 2m的小球B．A用細線拴住懸掛起來，系統處于靜止狀態，此時彈簧長度為．現將細線燒斷，并以此時為計時零點，取一相對地面靜止的、豎直向下為正方向的坐標軸Ox，原點O與此時A球的位置重合如圖．試求任意時刻兩球的坐標．

Answer 1

解法一：

對于由小球A、B和彈簧構成的系統，當A、B之間的距離為l時，已知m_A = m，m_B = 2m，由質心的定義，可知系統的質心C離A的距離

                  （1）

故A、B到質心C的距離分別為

               （2）

若以質心C為參考系（質心系），則質心C是固定不動的，連接A、B的彈簧可以分成兩個彈簧CA和CB．設彈簧CA的自然長度為l_A0，勁度系數為k_A，一端與小球A相連，另一端固定在C點；彈簧CB的的自然長度為l_B0，勁度系數為k_B，一端與小球B相連，另一端亦固定在C點．若連接A、B的自然長度為l₀，根據題意有

       （3）

由（2）式可知彈簧CA和CB的自然長度分別為

          （4）

       當A被懸掛，系統處于靜止時，已知連接A、B的彈簧長度為l，由（2）式可知，此時彈簧CA和CB的長度分別為

       （5）

彈簧CA、CB作用于A、B的彈簧力分別為

但f_A 、f_B就是連接A、B的彈簧因拉伸而產生的彈力f，即有

由此得

       （6）

相對地面，質心C是運動的，在t = 0 時刻，即細線剛燒斷時刻，A位于Ox軸的原點O處，即；B的坐標．由（1）式，可知此時質心C的坐標為

       （7）

在細線燒斷以后，作用于系統的外力是重力．故質心以g為加速度做勻加速直線運動，任意時刻t，質心的坐標

       （8）

由于質心作加速運動，質心系是非慣性系．在非慣性參考系中，應用牛頓第二定律研究物體的運動時，物體除受真實力作用外，還受慣性力作用．若在質心系中取一坐標軸，原點與質心C固連，取豎直向下為軸的正方向，當小球B在這參考系中的坐標為時，彈簧CB作用于B的彈性力

當時，方向豎直向上．此外，B還受到重力mg，方向豎直向下；慣性力大小為mg，方向豎直向上．作用于B的合力

由（3）、（4）式得

       （9）

令

       （10）

有

       （11）

當X_B = 0，作用于B的合力F_B = 0，B處于平衡狀態，由（10）式，可知在質心系中，B的平衡位置的坐標

       （12）

X_B為B離開其平衡位置的位移，（11）式表明，作用于B的合力具有彈性力的性質，故在F_B作用下， B將在平衡位置附近作簡諧振動，振動圓頻率

       （13）

離開平衡位置的位移

       （14）

A_B為振幅，為初相位．在t = 0時刻，即細線剛燒斷時刻，B是靜止的，故此時B離開其平衡位置的距離就是簡諧振動的振幅A_B，而在t = 0時刻，B離開質心的距離即（5）式給出的l_B，故B離開平衡位置的距離即振幅

由（5）式、（12）式得

              （15）

因t = 0，X_B =A_B，且X_B是正的，故

由此得

             （16）

由（10）式，t時刻B在質心系中的坐標

            （17）

在地面參考系的坐標

             （18）

得

         （19）

同理，當小球A在質心系中的坐標為時，注意到是負的，這時，彈簧CA的伸長量為

，

當為負時，彈力向下，為正，當為正時，彈力向上，為負，故有

作用于A的合力為

令

有

當X_A=0，作用于A的合力F_B = 0，A處于平衡狀態，A的平衡位置的坐標

       （20）

X_A為A離開其平衡位置的位移，故在合力F_A作用下， A將在平衡位置附近作簡諧振動，振動圓頻率

       （21）

離開平衡位置的位置

A_A為振幅，為初相位．在t = 0時刻，即細線剛燒斷時刻，A是靜止的，A離開質心C的距離為l_A，A的平衡位置離開質心的距離為故此時A離開平衡位置的距離即為振幅A_A，

 

而此時，故

由此得

                                              （22）

在時刻t，A在地面參考系中的坐標

       

解法二：

當球相對于地面參考系的坐標為時，彈簧的伸長量為，所受的合力為

         

其加速度為

                  

其相對于質心的加速度為

    

其中表示球相對于其平衡位置的位移，在相互平動的兩個參考系中，相對位移與參考系無關．

    上式表明，相對質心，球的加速度與其相對于平衡位置的位移成正比且反向．也就是說，球相對質心作簡諧振動．

     同理可證，

            

                     

其相對于質心的加速度為

                    

其中表示球相對于其平衡位置的位移，相對質心，球的加速度與其相對于平衡位置的位移成正比且反向，即球相對質心也作簡諧振動．且有與振動的圓頻率相等， 

                           

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解法三： 

在地面參考系中，列A、B的牛頓定律方程

        

2       

x₁、x₂是A、B的坐標，l₀是彈簧的自然長．

    時，有

       

為初始時即細線剛燒斷時刻，彈簧的長度，有關系

       

所以

       

由+，

       

令，是一個恒定的加速度，結合初始條件，對應的坐標和運動方程是，

       

再由，

              

這是一個以A為參考系描寫B物體運動的動力學方程，且是簡諧的，所以直接寫出解答，

結合初條件，

             

              

得到

             

             

所以

       

即

               

由，得

                

由+，得