Question

神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體,探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí),發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng),它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成,兩星視為質(zhì)點(diǎn),不考慮其他天體的影響.A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),它們之間的距離保持不變,如下圖所示.引力常量為G,由觀測(cè)能夠得到可見星A的速率v和運(yùn)行周期T.

(1)可見星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m′的星體(視為質(zhì)點(diǎn))對(duì)它的引力,設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m₁、m₂,試求m′(用m₁、m₂表示)；

(2)求暗星B的質(zhì)量m₂與可見星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式;

(3)恒星演化到末期,如果其質(zhì)量大于太陽(yáng)質(zhì)量m_s的2倍,它將有可能成為黑洞.若可見星A的速率v=2.7×10⁵ m/s,運(yùn)行周期T=4.7π×10⁴ s,質(zhì)量m₁=6m_s,試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎?

(G=6.67×10^-11 N·m²/kg²,m_s=2.0×10³⁰ kg)

Answer 1

解析：(1)設(shè)A、B圓軌道半徑分別為r₁、r₂，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，設(shè)其為ω.由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有

    F_A=m₁ω²r₁  F_B=m₂ω²r₂  F_A=F_B

    設(shè)A、B之間的距離為r,又r=r₁+r₂，由上述各式得:            ①

    由萬有引力定律，有

   

    將①代入得

   

    令

    比較可得

                                              ②

(2)由牛頓第二定律，有

                                            ③

    又可見星A的軌道半徑

                                                   ④

    由②③④式解得

                                        ⑤

(3)將m₁=6m_s代入⑤式，得

   

    代入數(shù)據(jù)得

                                     ⑥

    設(shè)m₂=nm_s(n＞0),將其代入⑥式，得

                        ⑦

    可見，的值隨n的增大而增大.

    試令n=2,得

    =0.125m_s＜3.5m_s                           ⑧

    若使⑦式成立，則n必大于2，即暗星B的質(zhì)量m₂必大于2m_s,由此得出結(jié)論：暗星B有可能是黑洞.

答案：(1)  (2)

(3)暗星B有可能是黑洞