Question

17．如圖所示，紙面內有一直角坐標系xOy，在第一象限內是沿x軸正方向、場強大小為E的勻強電場，在第二象限內是垂直于紙面向里的勻強磁場B（大小未知），在第三、第四象限內是垂直于紙面向外的勻強磁場B′（大小未知），一質量為m，電荷量為e的正粒子從無限靠近y軸的M點以速度v₀沿MO方向射出，經x軸上的N點進入第四象限，而后從x軸負半軸N′點（與N點關于O點對稱）進入第二象限，最后恰好似沿y軸正方向的速度打在y軸正半軸上，已知tan∠OMN=$\frac{1}{2}$，粒子重力不計，試求：
（1）M、O間距離l和O、N間距離d；
（2）$\frac{B}{B′}$的值．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，應用類平拋運動規律可以求出l、d．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，作出粒子運動軌跡求出粒子軌道半徑，應用牛頓第二定律求出磁感應強度，然后求出磁感應強度指標．

解答 解：粒子運動軌跡如圖中虛線所示；
（1）由題意知：已知tan∠OMN=$\frac{1}{2}$，則：O、N間的距離：d=$\frac{l}{2}$，
粒子從M點到N點做類平拋運動，d=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$$\frac{eE}{m}$t₁²，l=v₀t₁，
解得：l=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{eE}$，d=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2eE}$．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，粒子進入磁場時速度方向與y軸負方向間夾角為θ，
則tanθ=2tan∠OMN=1，解得：θ=45°，
由幾何知識得，粒子在磁場B′中做圓周運動的軌道半徑：r′=$\sqrt{2}$d，
粒子在磁場B中做勻速圓周運動的軌道半徑為r，
由幾何知識得，圓心角：α=θ=45°，
cosα=$\frac{r-d}{r}$，解得：r=（2+$\sqrt{2}$）d，
粒子做圓周運動洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：evB′=m$\frac{{v}^{2}}{r′}$，evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：$\frac{B}{B′}$=（$\sqrt{2}$-1）；
答：（1）M、O間距離l為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{eE}$，O、N間距離d為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2eE}$．
（2）$\frac{B}{B′}$的值為（$\sqrt{2}$-1）．

點評 本題考查了粒子在電場與磁場中的運動，粒子在電場中做類平拋運動，在磁場中做勻速圓周運動，分析清楚粒子運動過程是解題的前提與關鍵，應用類平拋運動規律與牛頓第二定律可以解題；
要掌握解帶電粒子在有界磁場中的運動問題，該類系統解題的一般思路為：
  1、畫軌跡：確定圓心，幾何方法求半徑并畫出軌跡．
  2、找聯系：軌跡半徑與磁感應強度、速度聯系；偏轉角度與運動時間相聯系，時間與周期聯系．
  3、用規律：牛頓第二定律和圓周運動的規律．