Question

2．如圖甲所示，MN、PQ為間距L=0.5m足夠長的平行導軌，NQ⊥MN，導軌的電阻不計．導軌平面與水平面間的夾角θ=37°，NQ間連接有一個R=4Ω的電阻．有一勻強磁場垂直于導軌平面且方向向上，磁感應強度為B₀=1T．將一根阻值未知質量為m=0.05kg的金屬棒ab緊靠NQ放置在導軌上，且與導軌接觸良好．現由靜止釋放金屬棒，當金屬棒滑行至cd處時達到穩定速度，已知在此過程中通過金屬棒截面的電量q=0.2C，且金屬棒的加速度a與速度v的關系如圖乙所示，設金屬棒沿導軌向下運動過程中始終與NQ平行．（取g=10m/s²，sin 37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）金屬棒與導軌間的動摩擦因數μ和cd離NQ的距離s；
（2）金屬棒滑行至cd處的過程中，電阻R上產生的熱量；
（3）若將金屬棒滑行至cd處的時刻記作t=0，從此時刻起，讓磁感應強度逐漸減小，為使金屬棒中不產生感應電流，則磁感應強度B應怎樣隨時間t變化（寫出B與t的關系式）．

Answer 1

分析 （1）當剛釋放時，導體棒中沒有感應電流，不受安培力，只受重力、支持力與靜摩擦力，由圖讀出v=0時的加速度，由牛頓第二定律可求出動摩擦因數．當金屬棒速度穩定時，則受到重力、支持力、安培力與滑動摩擦力達到平衡，這樣可以列出安培力公式，產生感應電動勢的公式，再由閉合電路毆姆定律，列出平衡方程可求出金屬棒的內阻，從而利用通過棒的電量來確定發生的距離．
（2）金屬棒滑行至cd處的過程中，由動能定理可求出安培力做的功，而由于安培力做功導致電能轉化為熱能．
（3）要使金屬棒中不產生感應電流，則穿過線框的磁通量不變．同時棒受到重力、支持力與滑動摩擦力做勻加速直線運動．從而可求出磁感應強度B應怎樣隨時間t變化的．

解答 解：（1）由圖乙，知當v=0時，a=2m/s²
由牛頓第二定律得：mgsinθ-μmgcosθ=ma
代入數據解得：μ=0.5       
由圖象可知：v_m=2m/s  
當金屬棒達到穩定速度時，有：F_A=B₀IL；
且 B₀IL+μmgcosθ=mgsinθ
代入數據解得：I=0.2A；
切割產生的感應電動勢為：E=B₀Lv=1×0.5×2=1V；
因 I=$\frac{E}{R+r}$
代入數據解得：r=1Ω
電量為：q=I△t=n$\frac{△Φ}{△t（R+r）}$△t=n$\frac{△Φ}{R+r}$
而△Φ=BLs
代入數據解得：s=2m
（3）由動能定理得：
mgh-μmgscos37°-W_F=$\frac{1}{2}$mv2-0
產生熱量：W_F=Q_總=0.1J
因此電阻R上產生的熱量為：Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q_總=$\frac{4}{5}$×0.1J=0.08J
（4）當回路中的總磁通量不變時，金屬棒中不產生感應電流．此時金屬棒將沿導軌做勻加速運動，由牛頓第二定律得：
mgsinθ-μmgcosθ=ma
得：a=g（sinθ-μcosθ）=10×（0.6-0.5×0.8）m/s²=2m/s²
根據磁通量不變，可得：
B₀Ls=BL（s+vt+$\frac{1}{2}$at²）
解得：B=$\frac{2}{2+2t+{t}^{2}}$T．
答：（1）金屬棒與導軌間的動摩擦因數為0.5；cd離NQ的距離2m；
（2）金屬棒滑行至cd處的過程中，電阻R上產生的熱量0.08J；
（3）磁感應強度B應怎樣隨時間t變化為B=$\frac{2}{2+2t+{t}^{2}}$T．

點評 本題考查了牛頓運動定律、閉合電路毆姆定律，安培力公式、感應電動勢公式，還有動能定理．要知道當金屬棒速度達到穩定時，則一定是處于平衡狀態，原因是安培力受到速度約束的．還巧妙用磁通量的變化去求出面積，從而算出棒運動的距離．要明確當線框的總磁通量不變時，金屬棒中不產生感應電流．