Question

14．北斗導航系統又被稱為“雙星定位系統”，具有導航、定位等功能．“北斗”系統中兩顆工作衛星均繞地心O做勻速圓周運動，軌道半徑為r，某時刻兩顆工作衛星分別位于軌道上的A、B兩位置（如圖所示）．若衛星均按順時針運行，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R．不計衛星間的相互作用力．則以下判斷中正確的是（　�。�

• A． 衛星1中質量為m的物體的動能為$\frac{1}{2}$mgr
• B． 衛星1向后噴氣就一定能追上衛星2
• C． 衛星1由位置A運動到位置B所需的時間為$\frac{πr}{6R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$
• D． 這兩顆衛星的加速度大小相等，均為$\frac{{R}^{2}g}{{r}^{2}}$

Answer 1

分析 衛星繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，應用萬有引力公式與牛頓第二定律求出線速度、周期、加速度，然后分析答題．

解答 解：A、衛星繞地球做圓周運動，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，地球表面的物體受到的重力等于萬有引力：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$，衛星1中質量為m的物體的動能：E_K=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{mg{R}^{2}}{2r}$，故A錯誤；
B、衛星1向后噴氣，衛星1的速度變大，衛星1做圓周運動需要的向心力變大，大于該軌道的萬有引力，衛星1做離心運動，軌道半徑變大，衛星1不可能追上衛星2，故B錯誤；
C、衛星繞地球做圓周運動，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，地球表面的物體受到的重力等于萬有引力：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，解得：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{g{R}^{2}}}$，衛星1由位置A運動到位置B所需的時間：t=$\frac{60°}{360°}$T=$\frac{πr}{3R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$，故C錯誤；
D、衛星繞地球做圓周運動，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma，地球表面的物體受到的重力等于萬有引力：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，解得：a=$\frac{{R}^{2}g}{{r}^{2}}$，故D正確；
故選：D．

點評 關于做圓周運動的衛星類問題，要熟練運用兩條基本思路：萬有引力提供向心力，以及萬有引力等于重力，靈活選擇向心力公式的形式求解．