Question

7．如圖所示，正方形區域MNPQ內有垂直紙面向里的勻強磁場，兩個電子（重力不計）分別從MQ之間的某處A沿平行QP方向垂直射入勻強磁場，并分別以不同的速度從a，b射出磁場，射出后與QP夾角分別為90°和60°，求：
（1）兩電子的圓周半徑之比r_a：r_b；
（2）兩電子從a，b射出磁場時的速度之比v_a：v_b；
（3）兩電子通過勻強磁場所需時間之比t_a：t_b．

Answer 1

分析 （1）電子在磁場中做勻速圓周運動，作出電子的運動軌跡，由幾何知識求出電子的軌道半徑，然后求出軌道半徑之比．
（2）洛倫茲力提供向心力，應用牛頓第二定律求出電子的速度，然后求出電子的速度之比．
（3）根據電子轉過的圓心角與電子做圓周運動的周期公式求出電子運動時間之比．

解答 解：（1）電子運動軌跡如圖所示，設AQ=L，

由幾何知識得：r_a=L，
r_b-L=r_bsin30°，r_b=2L，
軌道半徑之比：r_a：r_b=1：2；
（2）電子做圓周運動，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\frac{eBr}{m}$∝r，
電子的速度之比：$\frac{{v}_{a}}{{v}_{b}}$=$\frac{{r}_{a}}{{r}_{b}}$=$\frac{1}{2}$；
（3）電子在磁場中做勻速圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{eB}$，
電子在磁場中的運動時間：t=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{θm}{eB}$∝θ，
電子的運動時間之比：$\frac{{t}_{a}}{{t}_{b}}$=$\frac{{θ}_{a}}{{θ}_{b}}$=$\frac{90°}{60°}$=$\frac{3}{2}$；
答：（1）兩電子的圓周半徑之比r_a：r_b為1：2；
（2）兩電子從a，b射出磁場時的速度之比v_a：v_b為1：2；
（3）兩電子通過勻強磁場所需時間之比t_a：t_b為3：2．

點評 本題考查了電子在磁場中的運動，分析清楚電子的運動過程、作出電子的運動軌跡是解題的關鍵，應用牛頓定律與電子做圓周運動的周期公式可以解題．