Question

（2011?紹興二模）如圖所示，在xoy平面內(nèi)x＞0處有一半圓形勻強(qiáng)磁場，磁場區(qū)域圓心為O，半徑為R=0.10m，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.5T，磁場方向垂直xoy平面向里．有一線狀粒子源放在y軸左側(cè)（圖中未畫出），不斷沿平行于x軸正方向放出電荷量為q=+1.6×10^-19C、初速度為v₀=1.6×10⁶m/s的粒子，粒子的質(zhì)量為m=1.0×10^-26kg，不考慮粒子間的相互作用，粒子重力忽略不計(jì)．求：
（1）從O點(diǎn)入射的粒子離開磁場區(qū)域的y軸坐標(biāo)；
（2）從y軸任意位置（0，y）入射的粒子在離開磁場時(shí)的速度方向與正x軸夾角的余弦值；
（3）這些粒子在該磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間，并指出該粒子入射時(shí)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場中做圓周運(yùn)動，根據(jù)粒子的運(yùn)動軌跡和幾何關(guān)系可以求得粒子設(shè)出時(shí)的位置的坐標(biāo)；
（2）從任意位置進(jìn)入磁場時(shí)，根據(jù)粒子的運(yùn)動畫出粒子的運(yùn)動的軌跡，再由三角形得關(guān)系可以求得速度方向；
（3）粒子在磁場中運(yùn)動的圓心角越的，粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間就越長，根據(jù)粒子的運(yùn)動的軌跡的關(guān)系，可以求得粒子的運(yùn)動最長時(shí)間的位置．

解答：解：
（1）粒子在磁場中的運(yùn)動滿足
qvB=m

v 2 0

r

可得粒子的運(yùn)動的半徑為r=

mv0

qB

=0.2m
當(dāng)粒子從O點(diǎn)入射時(shí)，畫出粒子的運(yùn)動軌跡圓弧OP，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x_p，y_p），則OQ=y_p，
故O′Q=r-y_p，
由直角三角形△O′PQ關(guān)系可得：
x

2 p

+(r-yp)2=r²
P點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足

x

2 p

+

y

2 p

=R²
聯(lián)立可得 y_p=

R2

2r

，
代入數(shù)據(jù)得y_p=0.025m
（2）如右圖，粒子從C點(diǎn)入射，畫出其在磁場中運(yùn)動的軌跡，交與磁場邊界D點(diǎn)，并畫出其運(yùn)動軌跡的圓心O，
設(shè)弧CD所對圓心為θ，過D點(diǎn)做x軸的平行線交y軸與E點(diǎn)，連接OD，
則OO′=r+y
由直角三角形△O′ED得，O′E=rcosθ，DE=rsinθ
則OE=O′O-O′E=r+y-rcosθ
在直角三角形△OED內(nèi)，有OE²+DE²=OD²
代入得 （r+y-rcos）²+（rsinθ）²=R²
可求得 cosθ=

(r+y)2+r2-R2

2(r+y)r

，
代入數(shù)據(jù)得 cosθ=

10y2+4y+0.7

4y+0.8

，
（3）由 cosθ=

(r+y)2+r2-R2

2(r+y)r

，
變式得：cosθ=

r+y

2r

+

r2-R2

2r(r+y)

，
這說明當(dāng)

r+y

2r

=

r2-R2

2r(r+y)

時(shí)，cosθ具有最小值，θ具有最大值．
代入數(shù)據(jù)得y=0.1

3

-0.2≈-0.027
即入射點(diǎn)在x軸下方做標(biāo)為（0，-0.027）處
此時(shí)cosθ=0.5
即θ=

π

3

由周期公式T=

2πm

qB

得t_m=

θm

qB

=

2

3

π×10^-7s≈2.1×10^-7s．

點(diǎn)評：電荷在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，關(guān)鍵是畫出軌跡，由幾何知識求出半徑．定圓心角，求時(shí)間．