Question

10．如圖甲所示，A、C兩平行金屬板長度和間距相等，兩板間所加電壓隨時間變化圖線如圖乙所示，圖中的U₀、T均已知．磁感應強度為B的勻強磁場，方向垂直紙面向里，其左右邊界與電場中線OO、垂直．質量為m、電量為q帶正電的粒子連續不斷地以相同的初速度沿兩板間的中線OO、射入電場，并從磁場左邊界MN射出．已知t=0時刻進入板間的粒子經$\frac{T}{2}$恰好從極板邊緣進入磁場．不考慮粒子的重力和粒子間相互作用力．求：

（1）粒子在磁場中運動的最短時間；
（2）磁場區域左右邊界間的最小距離；
（3）從O、點進入磁場的粒子速度大小．

Answer 1

分析 此題是一題交變電場與磁場的綜合題，由于交變電場的對稱性，所以不同時刻進入電場的粒子在豎直方向先加速后減速再加速，運動軌跡若在正負電場中的時間相等，則具有對稱性．
（1）由題意知：t=0時刻進入板間的粒子經$\frac{T}{2}$恰好從極板邊緣進入磁場，由粒子做類平拋運動的水平位移和豎直位移可以求出板距和速度（包括速度方向），這為后面計算做好鋪墊．顯然$t=nT+\frac{T}{2}$（n=0，1，2，3…）時刻進入電場的粒子從上邊緣射出時偏轉角最小，時間最短．
（2）若從下邊緣進入磁場的粒子恰恰能在磁場中做完整的勻速圓周運動，其軌跡與右邊界相切，則此時磁場寬度最小，由幾何關系很容易求出．
（3）若從O′點射出電場的粒子沿側向加速時間為t，則其沿側向返回加速時間為$\frac{T}{2}-2t$，那么兩段對稱的位移與反向類平拋的位移相等且通過O′點，列出相應的方程解出加速時間t，則通過O′點的水平速度和豎直速度均可求出，從而求出合速度．

解答 解：設板長和板距為L，粒子的初速度為v₀，據題意，t=0時刻進入電場的粒子：
  水平方向：$L={v}_{0}×\frac{T}{2}$
  豎直方向：$\frac{L}{2}=\frac{1}{2}×\frac{{U}_{0}q}{Lm}（\frac{T}{2}）^{2}$
  聯立以上兩式解得：$L=\frac{T}{2}\sqrt{\frac{q{U}_{0}}{m}}$，${v}_{0}=\sqrt{\frac{q{U}_{0}}{m}}$
（1）$t=nT+\frac{T}{2}$（n=0，1，2，3…）時進入電場力的粒子，從極板上邊界進入磁場，進入
  磁場時速度與磁場左邊界夾角最小，在磁場中做圓周運動圓心角最小，在磁場中運動時間最短
  設粒子的初速度為v₀，則
  水平方向速度L=v₀$\frac{T}{2}$
  豎直方向速度$\frac{L}{2}=\frac{{v}_{y}}{2}×\frac{T}{2}$
  得：v_y=v₀，則粒子以大小為$\sqrt{2}{v}_{0}$，與磁場邊界成45°斜向上射入磁場粒子
  在磁場中做圓周運動時間${t}_{min}=\frac{T}{4}=\frac{πm}{2qB}$
（2）t=nT （n=0，1，2，3…）時進入電場的粒子，從下極板邊緣以$\sqrt{2}{v}_{0}$速度，與磁場邊界
  成45°斜向下射入磁場，在磁場中運動過程中離左邊界最遠
  根據牛頓第二定律$qB\sqrt{2}{v}_{0}=\frac{m（\sqrt{2}{v}_{0}）^{2}}{R}$ 
  最小磁場寬度d_min=R+Rcos45°  
  聯立解得：$p9vv5xb5_{m}=\frac{（\sqrt{2}+1）\sqrt{mq{U}_{0}}}{qB}$     
（3）設從O′點射出電場的粒子沿側向加速時間為t，其沿側向返回加速時間為$\frac{T}{2}-2t$，軌跡如圖所示，則
   $2×\frac{1}{2}×\frac{{U}_{0}q}{mL}{t}^{2}-\frac{1}{2}×\frac{{U}_{0}q}{mL}（\frac{T}{2}-2t）^{2}=0$
   到達O′點時側向速度$v{′}_{y}=\frac{{U}_{0}q}{mL}（\frac{T}{2}-2t）$
   到達O′點時速度大小$v=\sqrt{v{{′}_{x}}^{2}+v{{′}_{y}}^{2}}$
   聯立上述各式解得$v=\sqrt{\frac{{U}_{0}q}{m}（4-2\sqrt{2}）}$
答：（1）粒子在磁場中運動的最短時間$\frac{πm}{2qB}$．
（2）磁場區域左右邊界間的最小距離$\frac{（\sqrt{2}+1）\sqrt{mq{U}_{0}}}{qB}$．
（3）從O′點進入磁場的粒子速度大小$\sqrt{\frac{{U}_{0}q}{m}（4-2\sqrt{2}）}$．

點評 本題的難點在于每三問：通過O′點粒子的速度--這完全屬于帶電粒子在電場中運動問題，首先要找到什么時刻開始加速的粒子恰好先做時間為t的向下類平拋運動，再經過相同時間的斜拋運動速度變為水平最后再通過（$\frac{T}{2}-t$）反向類平拋運動，最后通過O′點，列出位移方程，先求出加速時間t，再求通過O′的合速度．