Question

14．兩顆球形行星A和B各有一顆衛星a和b，衛星的圓形軌道接近各自行星的表面，如果兩顆行星的質量之比$\frac{{M}_{A}}{{M}_{B}}$=3，半徑之比$\frac{{R}_{A}}{{R}_{B}}$=3，則兩顆衛星的周期之比$\frac{{T}_{a}}{{T}_{b}}$為（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． 9
• D． 12

Answer 1

分析 研究衛星繞行星做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式表示出周期表達式；注意在行星表面運動，軌道半徑可以認為就是行星的半徑．

解答 解：衛星a繞行星A做勻速圓周運動，$G\frac{{M}_{A}^{\;}{m}_{a}^{\;}}{{R}_{A}^{2}}={m}_{a}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{a}^{2}}{R}_{A}^{\;}$，得${T}_{a}^{\;}=2π\sqrt{\frac{{R}_{A}^{3}}{G{M}_{A}^{\;}}}$
衛星b繞行星B做勻速圓周運動，$G\frac{{M}_{B}^{\;}{m}_{b}^{\;}}{{R}_{B}^{2}}={m}_{b}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{b}^{2}}{R}_{B}^{\;}$，得${T}_{b}^{\;}=2π\sqrt{\frac{{R}_{B}^{3}}{G{M}_{B}^{\;}}}$
$\frac{{T}_{a}^{\;}}{{T}_{b}^{\;}}=\sqrt{\frac{{R}_{A}^{3}}{{R}_{B}^{3}}\frac{{M}_{B}^{\;}}{{M}_{A}^{\;}}}=\sqrt{{3}_{\;}^{3}×\frac{1}{3}}=3$，故A正確，BCD錯誤；
故選：A

點評 求一個物理量之比，我們應該把這個物理量先用已知的物理量表示出來，再進行之比；向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．