Question

14．如圖所示，位于豎直平面內的光滑軌道，由一段傾角為45°斜的直軌道和與之相切的半圓形軌道連接而成，切點為A，圓形軌道的半徑為R．一質量為m的小物塊從斜軌道上高H處由靜止開始下滑，然后沿圓形軌道運動．求：
（1）物塊滑到斜面底端對圓軌道A點的壓力；
（2）若要求物塊能通過圓形軌道最高點，且在該最高點與軌道間的壓力不能超過5mg（g為重力加速度）．求H的取值范圍；
（3）若H=4R，求物塊從圓軌道頂端飛出，砸在斜面上的高度h．

Answer 1

分析 解：（1）設物塊在圓形軌道最高點的速度為v₁，根據動能定理求出速度，在A點根據合外力提供向心力結合牛頓第三定律求解物塊對A點的壓力；
（2）滑塊能通過圓形軌道最高點的臨界條件是重力提供向心力，根據向心力公式及動能定理聯立方程即可求解；
（3）若H=4R，根據動能定理求出飛出時的速度，再根據平拋運動基本公式求解．

解答 解：（1）設物塊在圓形軌道最高點的速度為v₁：mgH=$\frac{1}{2}$mv₁²
在A點  N-mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得：N=$mg\frac{R+2H}{R}$
由牛頓第三定律得物塊對A點的壓力為$mg\frac{R+2H}{R}$
（2）設物塊在圓形軌道最高點的速度為v₂：mgH-2mgR=$\frac{1}{2}$mv₂²…①
物塊在最高點：mg+N=m$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$…②
物塊能通過最高點的條件是N≥0…③
由②③式得：v₂≥$\sqrt{gR}$代入①得h≥$\frac{5}{2}$R
按題目要求，N≤5 mg…④代入①得H≤5R   
h的取值范圍是：$\frac{5}{2}$R≤H≤5R
（3）由①式可知：v₂=2$\sqrt{gR}$
由平拋運動可知   2R-h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平位移 x=v₂t
$tanθ\frac{h}{x}$
解得：h=4R（$\sqrt{2}-1$）
答：（1）物塊滑到斜面底端對圓軌道A點的壓力為$mg\frac{R+2H}{R}$；
（2）若要求物塊能通過圓形軌道最高點，且在該最高點與軌道間的壓力不能超過5mg（g為重力加速度），H的取值范圍為：$\frac{5}{2}$R≤H≤5R；
（3）若H=4R，求物塊從圓軌道頂端飛出，砸在斜面上的高度h為4R（$\sqrt{2}-1$）．

點評 本題關鍵把物體的各個運動過程的受力情況和運動情況分析清楚，然后結合動能定理、牛頓第二定律和運動學公式求解．