Question

如圖1所示，紙面表示豎直平面，過P點的豎直線MN左側空間存在水平向右的勻強電場，右側存在豎直向上的勻強電場，兩個電場的電場強度大小相等。一個質量為m、帶電量為+q的小球從O點開始以豎直向上的速度v₀拋出，恰能水平地通過P點，到達P點時的速度大小仍為v₀。從小球到達P點時起，在空間施加一個垂直紙面向外的周期性變化的磁場，磁感應強度隨時間變化的圖象如圖2所示（其中t₁、t₂為未知的量，），同時將P點左側的電場保持大小不變而方向改為豎直向上，經過一段時間又后，小球恰能豎直向上經過Q點，已知P、Q點處在同一水平面上，間距為L。（重力加速度為g）
（1）求OP間的距離；
（2）如果磁感應強度B₀為已知量，試寫出t₁的表達式；（用題中所給的物理量的符號表示）
（3）如果小球從通過P點后便始終能在電場所在空間做周期性運動，但電場存在理想的右邊界MN（即M'N'的右側不存在電場），且Q點到M'N'的距離為。當小球運動的周期最大時：
a．求此時的磁感應強度B₀及小球運動的最大周期T；
b．畫出小球運動一個周期的軌跡。

Answer 1

解：（1）小球由O到P運動過程中，豎直方向做勻減速直線運動，水平方向做勻加速直線運動，令運動時間為t，由運動學規律有
水平位移
豎直位移
所求OP間距離
（2）設電場強度的大小為E，考慮小球在OP間運動過程，由牛頓第二定律和運動學規律
豎直方向：
水平方向：

可得：
上式表明，小球通過P點后，在0~t₁時間內沿水平方向做勻速直線運動，在t₁~（t₁+t₂）時間內做勻速率圓周運動。
設小球在磁場中做圓周運動的周期為T₀，若豎直向上通過Q點，由圖1分析可知必有以下兩個條件：
，其中R為圓周運動的軌道半徑

由牛頓第二定律和圓周運動規律有：


解得：
（3）a．小球運動的速率始終不變，當R變大時，T₀也增加，在小球不飛出電場的情況下，當小球運動的周期T最大時，圖1中圓軌跡右側恰好跟M'N'相切，為使小球從通過P點后能做周期性運動，需滿足t₁=t₂
有：
解得：
而
可知小球在電場中運動的最大周期：
b．答圖如圖2所示