Question

神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律。天文學家觀測河外星系麥哲倫云時，發現了LMCX-3雙星系統，它由可見星A和不可見的暗星B構成，兩星視為質點，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者的連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖所示，引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T。

（1）可見星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點處質量為m′的星體（視為質點）對它的引力，設A和B的質量分別為m₁、m₂。試求m′（用m₁、m₂表示）。

（2）求暗星B的質量m₂與可見星A的速率v、運行周期T和質量m₁之間的關系式。

Answer 1

解：（1）設A、B的圓軌道半徑分別為r₁、r₂，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度相同，其為ω。由牛頓運動定律，有

F_A=m₁ω²r₁

F_B=m₂ω²r₂

F_A=F_B

設A、B之間的距離為r，又r=r₁+r₂，由上述各式得

r=  ①

由萬有引力定律，有F_A=

將①代入得F_A=

令F_A=

比較可得m′=  ②

（2）由牛頓第二定律，有  ③

又可見星A的軌道半徑r₁=  ④

由②③④式可得。