Question

如圖所示，在一個傾角為θ=37°(cos37°=0.8)的斜面上， O點固定一根細繩，細繩另一端連接一個質點�，F將質點放到斜面上P點，由靜止釋放，已知OP連線水平且間距為繩長，質點滑動到細繩轉過角度α=90°的位置時剛好停止。問：

(1)質點與斜面間動摩擦因數μ為多少？

(2)試描述質點放到斜面上哪些位置時可以平衡？已知最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等。

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

(1)   (2) [arccos，π - arccos]。

【解析】(1)將重力分解為下滑力和垂直斜面的分力，有

G₁=mgsinθ

G₂=mgcosθ

由于物體在垂直斜面方向無運動，受力平衡，所以始終有

N=G₂= mgcosθ                  (1)

則物體所受的滑動摩擦力

f=μN=μmgcosθ                   (2)

在物體擺動α=90°的過程中，由動能定理有

mgLsinθ - =0 – 0           (3)

由(2)(3)可得：

                  (4)

(2)根據上問數據可知

f < G₁

所以如果沒有細繩物體不可能在斜面上平衡，所以物體平衡時應該使細繩拉緊，物體首先應停在斜面上以O為圓心，繩長為半徑的圓上。

假設物體處于臨界平衡狀態，摩擦力為最大靜摩擦力f，設此時細繩與OP夾角為α₀，由物體平衡，三力合力為零，首尾相接之后組成閉合三角形，可得：

        (5)

綜上所述，物體能夠平衡的位置為，在斜面上以O點為圓心，OP長為半徑的圓上；且在OP下方使得細繩與OP夾角α的取值范圍為[arccos，π - arccos]。

評分標準：

(1)問6分，(2)(3)(4)各2分。

(2)問6分，(5)2分，描述物體在圓上2分，得出α的角度范圍2分(用別的角度描述也可)。

本題考查單擺運動的周期公式，小球在斜面上做單擺運動，把重力分解為垂直和平行斜面的兩個分力，垂直斜面方向受力平衡，由此求得摩擦力大小，在物體擺動α=90°的過程中，由動能定理可知合力做功為零，繩子的拉力不做功，只有重力和摩擦力做功，摩擦力作用與路程有關，由此可求得動摩擦因數大小，由此可知摩擦力大小小于重力沿斜面向下的分力，所以如果沒有細繩物體不可能在斜面上平衡，所以物體平衡時應該使細繩拉緊，物體首先應停在斜面上以O為圓心，繩長為半徑的圓上，隨意找一個臨界狀態，摩擦力為最大靜摩擦力f，由受力平衡列出公式，求得角度的取值范圍