Question

（16分）如圖所示為宇宙中有一個恒星系的示意圖，A為該星系的一顆行星，它繞中央恒星O運行軌道近似為圓，天文學家觀測得到A行星運動的軌道半徑為R₀，周期為T₀。

   

（1）中央恒星O的質量是多大？

（2）長期觀測發現，A行星實際運動的軌道與圓軌道總存在一些偏離，且周期性地每隔t₀時間發生一次最大的偏離，天文學家認為形成這種現象的原因可能是A行星外側還存在著一顆未知的行星B(假設其運行軌道與A在同一平面內，且與A的繞行方向相同)，它對A行星的萬有引力引起A軌道的偏離。根據上述現象及假設，你能對未知行星B的運動得到哪些定量的預測。

Answer 1

解析：

（1）設中央恒星質量為M，A行星質量為m，則有:

        ①

解得：            ②

（2）如圖所示，由題意可知：A、B相距最近時，B對A的影響最大，且每隔t₀時間相距最近。設B行星周期為T_B，則有：

  

         ③

解得：            ④

該B行星的質量為m′，運動的軌道半徑為R_B，則有

 ⑤

由① ④ ⑤可得：