Question

某行星的質量為M，半徑為R，自轉周期為T，已知萬有引力常量為G，試求：
（1）該行星兩極的重力加速度；
（2）該行星“赤道”上的重力加速度；
（3）要從該行星表面發射一顆質量為m₀的“近地衛星”，至少應該補充多少機械能？

Answer 1

分析：利用行星兩極物體所受的萬有引力等于重力求出重力加速度．
赤道上的物體受萬有引力和支持力，萬有引力與支持力的合力提供物體隨地球自轉向心力的來源，列出等式．
由于物體靜止在赤道上，所以物體的重力和所受支持力是一對平衡力．
找出初末位置的機械能，從能量守恒的角度求出應該補充多少機械能．

解答：解：（1）對于放置于行星兩極的質量為m的物體，有萬有引力等于重力得出：
G

mM

R2

=mg 
得：g=

GM

R2

（2）對于放置于行星赤道上的質量為m的物體，它隨行星做勻速圓周運動．設它受到的“地面”支持力為N，則有
G

mM

R2

-N=ma 
其中a=

4π2

T2

R 
N和重力是一對平衡力，所以N=mg′
解以上三式得g′=

GM

R2

-

4π2

T2

R 
（3）衛星在赤道上時，初速度最大，需要補充的機械能最少．
初速度v₁=

2π

T

R 
近地環繞時，有G

m0M

R2

=m₀

v 2 2

R

需要補充的機械能△E=

1

2

m0

v

2 2

-

1

2

m0

v

2 1

=

2π2m0R2

T2

-

GMm0

2R

答：（1）行星兩極的重力加速度是

GM

R2

；
（2）該行星“赤道”上的重力加速度是

GM

R2

-

4π2

T2

R；
（3）至少應該補充的機械能為

2π2m0R2

T2

-

GMm0

2R

．

點評：要注意重力和萬有引力的關系，特別是兩極和赤道處．
能量守恒一直是我們解決有關能量問題的常用方法．