Question

如圖所示，在一次消防演習中，消防員練習使用掛鉤從高空沿滑桿由靜止滑下，滑桿由AO、OB兩段直桿通過光滑轉軸連接地O處，可將消防員和掛鉤均理想化為質點，且通過O點的瞬間沒有機械能的損失．已知AO長L₁=5m，OB長L₂=10m，兩面豎直墻MN的間距d=11m．滑桿A端用鉸鏈固定在墻上，可自由轉動．B端用鉸鏈固定在另一側墻上．為了安全，消防員到達對面墻的速度大小不能超過6m/s，掛鉤與兩段滑桿間動摩擦因數均為μ=0.8．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）若測得消防員下滑時，OB段與水平方向間的夾角始終為37°，求消防員在兩滑桿上運動時加速度的大小及方向；
（2）若B端在豎直墻上的位置可以改變，求滑桿端點A、B間的最大豎直距離．

Answer 1

分析：（1）對AO由幾何關系可求得夾角，對人受力分析可求得加速度的大小及方向；
（2）對全程由動能定理可得出重力及摩擦力做功與動能的關系，由幾何關系可求得最大距離．

解答：解：（1）設桿OA、OB與水平方向夾角為α、β，由幾何關系：d=L₁cosα+L₂cosβ
得出AO桿與水平方向夾角α=53°
由牛頓第二定律得mgsinθ-f=ma
f=μN   N=μmgcosθ
在AO段運動的加速度：a₁=gsin53°-μgcos53°=3.2 m/s²，方向沿AO桿向下．
在OB段運動的加速度：a₂=gsin37°-μgcos37°=-0.4 m/s²，方向沿BO桿向上．
（2）對全過程由動能定理得 mgh-μmgL₁cosα-μmgL₂cosβ=

1

2

mv2-0
其中d=L₁cosα+L₂cosβ，v≤6 m/s
所以：h=

v2

2g

+μd≤10.6m
又因為若兩桿伸直，AB間的豎直高度為h′=

(L1+L2)2-d2

=

104

≈10.2m＜10.6m
所以AB最大豎直距離應為10.2m．
答：（1）在AO段運動的加速度大小為3.2 m/s²，方向沿AO桿向下．在OB段運動的加速度大小為0.4 m/s²，方向沿BO桿向上．
（2）AB最大豎直距離應為10.2m．

點評：本題重點在于對幾何關系的認識，要注意找出題目中的臨界條件，再結合能量關系即可求出所要求的量來．