Question

4．一位同學的家住在一座25層的高樓內，他每天乘電梯上樓，隨著所學物理知識的增多，有一天他突然想到，能否用所學物理知識較為準確地測出這座樓的高度呢？在以后的一段時間內他進行了多次實驗測量，步驟如下：
經過多次仔細觀察和反復測量，他發現電梯啟動后的運動速度符合如圖所示的規律，他就根據這一特點在電梯內用臺秤、重物和停表測量這座樓房的高度．他將臺秤放在電梯內，將重物放在臺秤的托盤上，電梯從第一層開始啟動，經過不間斷的運行，最后停在最高層．在整個過程中，他記錄了臺秤中不同時間段內的示數，記錄的數據如表所示．但由于0～3.0s段的時間太短，他沒有來得及將臺秤的示數記錄下來，假設在每個時間段內臺秤的示數都是穩定的，重力加速度g取10m/s²．
（1）電梯在0～3.0s時間段內臺秤的示數應該是多少？
（2）根據測量的數據計算該樓房每一層的平均高度．

時間/s	電梯啟動前	0～3.0	3.0～13.0	13.0～19.0	19.0以后
臺秤示數/kg	5.0		5.0	4.6	5.0

Answer 1

分析 以物體為研究對象，靜止時示數為其重力，加速時為超重：F-mg=ma，減速時為失重：mg-F=ma（F為示數）由此求解．

解答 解：（1）電梯啟動前，臺秤時數為5.0kg，則物體重力：G=50N，由于表中各段時間內臺秤的示數恒定，所以在時間${t}_{1}^{\;}$（0～3.0s）內，物體做勻加速運動，在時間${t}_{2}^{\;}$（3．s～13.0s）內物體做勻速直線運動，在時間${t}_{3}^{\;}$（13.0s～19.0s）內物體做勻減速直線運動，19.0s末速度減為零．
在13.0s～19.0s內，物體所受的支持力為：${F}_{N3}^{\;}=46N$，根
據牛頓第二定律有：$mg-{F}_{N3}^{\;}=m{a}_{3}^{\;}$
得在時間${t}_{3}^{\;}$內物體的加速度為：${a}_{3}^{\;}=\frac{mg-{F}_{N3}^{\;}}{m}=0.8m/{s}_{\;}^{2}$
13.0s末物體的速度為：${v}_{2}^{\;}={a}_{3}^{\;}{t}_{3}^{\;}=4.8m/s$
而由于電梯在13.0s末的速度與3.0s末的速度相同，因此根據勻變速運動規律
物體在0～3.0s內的加速度為：${a}_{1}^{\;}=1.6m/{s}_{\;}^{2}$
根據牛頓第二定律有：${F}_{N1}^{\;}-mg=m{a}_{1}^{\;}$
代入數據解得：${F}_{N1}^{\;}=58N$，即臺秤的示數為5.8kg
（2）0～3.0s內物體的位移為：${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×1.6×{3}_{\;}^{2}=7.2m$
3.0s～13.0s內物體的位移為：${x}_{2}^{\;}={v}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}=48m$
13.0s～19.0s內物體的位移為：${x}_{3}^{\;}=\frac{v}{2}{t}_{3}^{\;}=\frac{4.8}{2}×6=14.4m$
則電梯上升的總高度，實際為24層的總高度為：$x={x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}+{x}_{3}^{\;}=69.6m$
平均每層樓高為：h=2.9m
答：（1）電梯在0～3.0s時間段內臺秤的示數應該是5.8kg
（2）根據測量的數據計算該樓房每一層的平均高度是2.9m

點評 明確超重時示數增加，失重時示數小于重力，對于物體的重力不會發生變化，由牛頓第二定律列方程可求．