Question

7．假設地球可視為質量均勻分布的球體．已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g₀；在赤道的大小為g；地球自轉的周期為T；引力常量為G．則（　　）

• A． 地球的半徑R=$\frac{{{（g}_{0}-g）T}^{2}}{4{π}^{2}}$
• B． 地球的半徑R=$\frac{{{g}_{0}T}^{2}}{{4π}^{2}}$
• C． 地球的第一宇宙速度為$\frac{T}{2π}\sqrt{{g}_{0}{（g}_{0}-g）}$
• D． 地球的第一宇宙速度為 $\frac{T}{2π\sqrt{g{（g}_{0}-g）}}$

Answer 1

分析 質量為m的物體在兩極所受地球的引力等于其所受的重力．根據萬有引力定律和牛頓第二定律，在赤道的物體所受地球的引力等于其在兩極所受的重力聯立求半徑，再由第一宇宙速度為v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，即可求解．

解答 解：AB、在兩極地區，物體受到地球的萬有引力，其大小為mg₀，在赤道處，地球對物體的萬有引力大小仍為mg₀，
萬有引力和重力的合力提供圓周運動向心力有即有：
m（g₀-g）=m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得：R=$\frac{（{g}_{0}-g）{T}^{2}}{4{π}^{2}}$，故A正確，B錯誤；
CD、質量為m的物體在兩極所受地球的引力等于其所受的重力，有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg₀，
解得：M=$\frac{{g}_{0}（{g}_{0}-g）^{2}{T}^{4}}{16{π}^{4}G}$
那么地球的第一宇宙速度為v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\frac{T}{2π}\sqrt{{g}_{0}{（g}_{0}-g）}$，故C正確，D錯誤；
故選：AC．

點評 解決本題的關鍵是認識到在赤道處的重力實為地球對物體的萬有引力減去物體隨地球自轉的向心力，掌握力的關系是正確解題的前提．