Question

某球形行星“一晝夜”時間為T，在該行星上用彈簧秤測同一物體的重力，發現其“赤道”上的讀數比在其“兩極”處小9%，萬有引力常量為G．求：
（1）該行星的密度；
（2）若設想在該行星的表面發射一顆環繞表面的衛星，該衛星的周期多大？

Answer 1

分析：（1）由萬有引力定律知星體表面的物體所受的萬有引力為F=G

Mm

R2

在赤道上其中9%F充當物體隨地球自轉所需的向心力，即9%×G

Mm

R2

=m

4π2

T2

R，再根據星體的密度ρ=

M

4 3 πR3

即可解得行星的密度．
（2）在該行星的表面發射一顆環繞表面的衛星，其軌道半徑近似等于星體半徑R．由萬有引力充當向心力知G

Mm

R2

=m

4π2

T′2

R結合第一問結果即可解的衛星的周期T'．

解答：解：（1）由萬有引力定律知星體表面的物體所受的萬有引力為F=G

Mm

R2

在赤道上其中9%F充當物體隨地球自轉所需的向心力，即9%×G

Mm

R2

=m

4π2

T2

R  ①
又知星體的密度ρ=

M

4 3 πR3

  ②
由①②聯立解得 ρ=

100π

3GT2

  
 （2）在該行星的表面發射一顆環繞表面的衛星，其軌道半徑近似等于星體半徑R．由萬有引力充當向心力知
G

Mm

R2

=m

4π2

T′2

R  ③
由①③式聯立解得T′=

3T

10

答：該行星的密度為

100π

3GT2

；若設想在該行星的表面發射一顆環繞表面的衛星，該衛星的周期為

3T

10

．

點評：解決此類問題的關鍵是找到物體和衛星做圓周運動所需要的向心力的來源，并結合萬有引力定律解決問題．