Question

在質量為M=1kg的小車上，豎直固定著一個質量為m=0.2kg，高h=0.05m、總電阻R=100Ω、n=100匝矩形線圈，且小車與線圈的水平長度l相同．現線圈和小車一起在光滑的水平面上運動，速度為v₁=10m/s，隨后穿過與線圈平面垂直，磁感應強度B=1.0T的水平有界勻強磁場，方向垂直紙面向里，如圖（1）所示．已知小車運動（包括線圈）的速度v隨車的位移s變化的v-s圖象如圖（2）所示．求：
（1）小車的水平長度l和磁場的寬度d
（2）小車的位移s=10cm時線圈中的電流大小I以及此時小車的加速度a
（3）在線圈進入磁場的過程中通過線圈某一截面的電量q
（4）線圈和小車通過磁場的過程中線圈電阻的發熱量Q

Answer 1

分析：（1）線圈進入磁場，線圈中有感應電流受安培力作用，小車做減速運動速度v隨位移s減小，當線圈完全進入磁場，線圈中感應電流消失，小車做勻速運動．結合圖象的信息，讀出小車的水平長度l，根據小車的運動情況，求磁場的寬度d．
（2）讀出小車此時的速度，根據楞次定律解出感應電動勢、感應電流，根據安培定則解出線框所受的安培力，結合牛頓第二定律解出小車的加速度a；
（3）根據感應電荷量q=n

△Φ

R

求電量q．
（4）線圈進入磁場和離開磁場時，克服安培力做功，線圈的動能減少，轉化成電能消耗在線圈上產生電熱．

解答：解：（1）由圖可知，從s=5cm開始，線圈進入磁場，線圈中有感應電流，受安培力作用，小車做減速運動，速度v隨位移s減小，當s=15cm時，線圈完全進入磁場，線圈中感應電流消失，小車做勻速運動．因此小車的水平長度l=10cm．
當s=30cm時，線圈開始離開磁場，則d=（30-5）cm=25cm
（2）當s=10cm時，由圖象中可知線圈右邊切割磁感線的速度v₂=8m/s
由閉合電路歐姆定律得線圈中的電流I=

E

R

=

nBhv2

R

  
解得：I=

100×1×0.05×8

100

A=0.4A
此時線圈所受安培力F=πBIh=100×1×0.4×0.05N=2N   
小車的加速度 a=

F

(M+m)

=

2

1.2

m/s2=1.67m/s²       
（3）q=

△Φ

R

=

nBh△s

R

  
解得：q=

100×1×0.05×0.1

100

C=5×10^-3C  
（4）由圖象可知，線圈左邊離開磁場時，小車的速度為v₃=2m/s．
線圈進入磁場和離開磁場時，克服安培力做功，線圈的動能減少，轉化成電能消耗在線圈上產生電熱．
  Q=

1

2

（M+m）（v

2 1

-v

2 3

）  
解得線圈電阻發熱量Q=57.6J    
答：
（1）小車的水平長度l為10cm，磁場的寬度d為25cm．
（2）小車的位移s=10cm時線圈中的電流大小I為0.4A，此時小車的加速度a為1.67m/s²．
（3）在線圈進入磁場的過程中通過線圈某一截面的電量q為

100×1×0.05×0.1

100

C．
（4）線圈和小車通過磁場的過程中線圈電阻的發熱量Q為57.6J．

點評：本題關鍵要根據速度的變化分析磁場寬度，同時要結合力和運動的關系進行分析求解，明確安培力對物體運動的影響．