Question

如圖所示，B為位于水平地面上的質量為M的長方形空心盒子，盒內存在著豎直向上場強大小為E=

2mg

q

的勻強電場．A為位于一定高度處的質量為m、帶電荷量為+q的小球，且M=2m，盒子與地面間的動摩擦因數μ=0.2，盒外沒有電場．盒子的上表面有一些略大于小球直徑的小孔，孔間距滿足一定的關系，使得小球進出盒子的過程中始終不與盒子接觸．當小球A以1m/s的速度從孔1進入盒子的瞬間，盒子B恰以v₁=6m/s的速度向右滑行．已知盒子通過電場對小球施加的作用力與小球通過電場對盒子施加的作力大小相等方向相反．設盒子足夠長，取重力加速度g=10m/s²，小球恰能順次從各個小孔進出盒子．試求：

（1）小球A從第一次進入盒子到第二次進入盒子所經歷的時間；
（2）盒子上至少要開多少個小孔，才能保證小球始終不與盒子接觸；
（3）從小球第一次進入盒子至盒子停止運動的過程中，盒子通過的總路程．

Answer 1

分析：（1）小球A從第一次進入盒子到第二次進入盒子所經歷的時間分為兩部分，A在盒子內運動時運動牛頓第二定律求出加速度，再用運動學基本公式求出時間，A在盒子外運動的時間根據運動學基本公式即可求得，時間之和即為經歷的總時間；
（2）分別求出小球在盒內和盒外時的盒子的加速度，進而求出小球運動一個周期盒子減少的速度，再求出從小球第一次進入盒子到盒子停下，小球運動的周期數n，要保證小球始終不與盒子相碰，盒子上的小孔數至少為2n+1個；
（3）分別求出盒子在每個周期內通過的距離，觀察數據得特點，且當盒子停下時，小球恰要進入盒內，從而求出總位移．

解答：解：（1）A在盒子內運動時，qE-mg=ma
E=

2mg

q

由以上兩式得　　a=g=10m/s²     
A在盒子內運動的時間t1=

2v

a

=0.2s
A在盒子外運動的時間t2=

2v

g

=0.2s
A從第一次進入盒子到第二次進入盒子的時間T=t₁+t₂=0.4s
（2）小球在盒子內運動時，盒子的加速度a1=

μ(Mg+qE)

M

=4m/s2
小球在盒子外運動時，盒子的加速度a2=

μMg

M

=2m/s2
小球運動一個周期盒子減少的速度為△v=a₁t₁+a₂t₂=4×0.2+2×0.2=1.2m/s
從小球第一次進入盒子到盒子停下，小球運動的周期數為n=

v1

△v

=

6

1.2

=5
要保證小球始終不與盒子相碰，小孔數至少為2n+1個，即11個．
（3）小球第一次在盒內運動的過程中，盒子前進的距離為s1=v1t1-

1

2

a1

t

2 1

=1.12m
小球第一次從盒子出來時，盒子的速度v₂=v₁-a₁t₁=5.2m/s
小球第一次在盒外運動的過程中盒子前進距離s2=v2t2-

1

2

a2

t

2 2

=1m
小球第二次進入盒子時，盒子的速度v₃=v₂-a₂t₂=4.8m/s
小球第二次在盒子內運動的過程中，盒子前進的距離為s3=v3t1-

1

2

a1

t

2 1

=0.88m
小球第二次從盒子出來時，盒子的速度v₄=v₃-a₁t₁=4m/s
小球第二次在盒外運動的過程中，盒子前進的距離為s4=v4t2-

1

2

a2

t

2 2

=0.76m
分析上述各組數據可知，盒子在每個周期內通過的距離為一等差數列，公差d=0.12m．且當盒子停下時，小球恰要進入盒內，最后0.2s內盒子通過的路程為0.04m．所以從小球第一次進入盒子至盒子停止運動的過程中，盒子通過的總路程為s=

n(s1+s10)

2

=

10(1.12+0.04)

2

=5.8m
解：（1）小球A從第一次進入盒子到第二次進入盒子所經歷的時間0.4s
（2）盒子上至少要開11個小孔，才能保證小球始終不與盒子接觸
（3）從小球第一次進入盒子至盒子停止運動的過程中，盒子通過的總路程5.8m

點評：該題是較為復雜的往復運動，要求同學們能正確分析每個過程的受力情況，求出加速度、時間和位移，還要善于觀察數據，總結數據之間的規律，要求較高，難度很大，屬于難題．