Question

如圖所示，P為位于某一高度處的質量為m的物塊，B為位于水平地面上質量為M的特殊長平板，，平板與地面間的動摩擦因數μ=0.02，在平板的表面上方，存在一定厚度的“相互作用區域”，如圖中畫虛線的部分，當物塊P進入相互作用區時，便受到B對它豎直向上的恒力f作用，其中f=kmg，k=11，f對P的作用恰好使P不與B的上表面接觸；在水平方向上P、B之間沒有相互作用力.已知物塊P開始下落時刻，平板B向右的速度為v₀=10m/s，P從開始下落到剛到達相互作用區所經歷的時間為t₀=2 s.設B板足夠長，保證物塊P總能落入B板上方的相互作用區.求：

(1)物塊P從開始自由下落到再次回到初始位置所經歷的時間.

(2)當B開始停止運動的那一時刻，P已經回到初始位置多少次.

Answer 1

解法一：(1)依題意，物塊P在長木板B的上方做周期性運動，設物塊剛進入相互作用區時的速度為v，則v=gt₀  ①

P進入相互作用區后的加速度為a，由牛頓第二定律可得a==(k-1)g，設向下減速運動的時間為t，則v=at=(k-1)gt  ② 

①②兩式聯立解得t=t₀

故物塊P運動的周期T=2(t₀+t)==4.4 s  ③ 

(2)物塊P未進入相互作用區時，B的加速度a₁==μg  ④

物塊P進入相互作用區時，B的加速度a₂=  ⑤

則2t₀時間內，B的速度減小量Δv₁=a₁·2t₀=2μgt₀  ⑥

在2t時間內，B的速度減少量Δv₂=a₂·2t=2μg  ⑦ 

故在P運動的一個周期內，B的速度減少量Δv=Δv₁+Δv₂=2μgt₀+2μg ⑧

P回到初始位置的次數n=  ⑨

聯立⑧⑨兩式解得n=10.3，n應取整數，故n=10 

解法二：(1)物塊P從開始下落到減速運動速度為零的全過程中，根據動量定理，有mg(t₀+t)-ft=0

則t= 

故T=2(t₀+t)==4.4 s 

(2)設在P運動的一個周期T內，B的速度減少量為Δv，根據動量定理有μMg·2t₀+μ(Mg+f)·2t=MΔv 

解得Δv=2μgt₀+2μg(1+)·

P回到初始位置的次數n=

聯立解得n=10.3，n應取整數，故n=10