Question

如圖所示光滑管形圓軌道半徑為R（管徑遠小于R），小球a、b大小相同，質量均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無摩擦運動．兩球先后以相同速度v通過軌道最低點，且當小球a在最低點時，小球b在最高點，以下說法正確的是（　�。�

• A．當小球b在最高點對軌道無壓力時，小球a比小球b所需向心力大5mg
• B．當v=

  5gR

  時，小球b在軌道最高點對軌道無壓力
• C．當v=

  gR

  時，兩球在管內運動的最大高度均為

  1

  2

  R
• D．只要v≥

  5gR

  ，小球a對軌道最低點的壓力比小球b對軌道最高點的壓力都大6mg

Answer 1

分析：要使小球能通過最高點，只要小球的速度大于零即可；而當向心力等于重力時，小球對軌道沒有壓力，由向心力公式可求得小球在最高點時速度；再由機械能守恒可求得小球在最低點時的速度，及最低點時所需要的向心力，即可求得最低點與最高點處壓力的差值．

解答：解：A、B、在最高點，當小球對軌道無壓力時，則有：mg=m

v 2 1

R

；
解得：v₁=

gR

；
由機械能守恒定律可得，mg?2R=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²；
求得小球在最低點時的速度v₂=

5gR

，故最低點速度至少為

5gR

，才能使兩球在管內做圓周運動；當速度為

5gR

時，小球在最高點對軌道無壓力；
在最高點無壓力時，向心力F₁=mg；
最低點時，向心力F₂=m

v 2 2

R

=5mg；即a球比b球所需向心力大4mg；故A錯誤，故B正確；
C、當v=

gR

時，兩球均不能到達最高點，根據動能定理，有：mgh=

1

2

mv2
又v=

gR

故h=0.5R，故C正確；
D、在最高點時，T₁+mg=m

v 2 1

R

；解得T₁=m

v 2 1

R

-mg； 
最低點時，T₂-mg=m

v 2 2

R

；解得T₂=m

v 2 2

R

+mg；
T₂-T₁=2mg+m

v 2 2

R

-m

v 2 1

R

；
由機械能守恒可得：mg?2R=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²；
可得：m

v 2 2

R

-m

v 2 1

R

=4mg；
則可得：T₂-T₁=6mg；即只要能做完整的圓周運動，壓力之差都等于6mg；故D正確；
故選BCD．

點評：小球在豎直面內的圓周運動，若是用繩拴著只有重力小于等于向心力時，小球才能通過；而用桿或在管內運動的小球，只要速度大于零，小球即可通過最高點．