Question

如圖所示光滑管形圓軌道半徑為R（管徑遠小于R），小球a、b大小相同，質量均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無摩擦運動．兩球先后以相同速度v通過軌道最低點，且當小球a在最低點時，小球b在最高點，以下說法正確的是（　　）

• A．當小球b在最高點對軌道無壓力時，小球a比小球b所需向心力大5mg
• B．當v=

  gR

  時，小球b在軌道最高點對軌道無壓力
• C．速度v至少為

  5GR

  ，才能使兩球在管內做圓周運動
• D．只要v≥

  5gR

  ，小球a對軌道最低點的壓力比小球b對軌道最高點的壓力大6mg

Answer 1

分析：小球在圓環(huán)的內側運動，相當于圓周運動中的桿的模型，此時在最高的速度是可以為零的，在整個運動的過程中小球的機械能守恒，可以求得小球到達最低端是的速度和需要的向心力的大小．

解答：解：由于管中沒有摩擦力的作用，所以球的機械能守恒，
當小球b在最高點對軌道無壓力，即只有重力做為向心力，
所以mg=m

vb2

R

，所以在最高點時b球的速度的大小為

gR

，
所以B正確，C錯誤；
從最高點到最低點，由機械能守恒可得，mg?2R+

1

2

mv_b²=

1

2

mv_a²，
對于a球，在最低點是，由向心力的公式可得 F-mg=m

va2

R

，
所以F-mg=5mg，
所以此時的向心力的大小為5mg，
所以小球a比小球b所需向心力大4mg，所以A錯誤；
D、最高點時F₁=m

v12

R

-mg，
在最低點時，F(xiàn)₂=m

v22

R

+mg，
由機械能守恒有

1

2

mv₁²+mg2R=

1

2

mv₁²，
所以F₂-F₁=6mg．所以D正確．
故選BD．

點評：內管可以對小球提供支持力，可化為輕桿模型，在最高點時，小球速度可以為零，與繩的模型一定要區(qū)分開．