Question

如圖所示，半徑為R的半圓形光滑軌道豎直固定在水平地面上，A點是最低點，B點是最高點，質量為M的小球以某一速度自A點進入軌道，它經過最高點后飛出，最后落在水平地面上的C點，現測得AC=2R，求：
（1）小剛從B點飛出的速度大小．
（2）小球自A點進入軌道時的速度大小． 
（3）為了使小球到達B點，它在的A點進入軌道時的速度至少多大？

Answer 1

分析：（1）小球從B點飛出后做平拋運動，水平位移大小為AC=2R，豎直位移大小h=2R，根據平拋運動的規律求解小球從B點飛出的速度大小．
（2）小球從A運動到B的過程中，軌道的支持力不做功，機械能守恒，運用機械能守恒定律列式，求解小球在A點的速度大小．
（3）小球恰好到達B點時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球經過B點的最小速度，再機械能守恒定律求出A點的速度大小．

解答：解：（1）小球從B點飛出后做平拋運動，
則：豎直方向，有：2R=

1

2

gt2，
    水平方向，有：2R=v_Bt，則v_B=

2R

t

=

gR

（2）小球從A運動到B的過程中，由機械能守恒得：
 

1

2

mv_A²=

1

2

mv_B²+2mgR，
解得，v_B=

5gR

（3）小球恰好到達B點時速度為v₀，則由牛頓第二定律得
   mg=m

v 2 0

R

解得，v₀=

gR

小球從A運動到B的過程中，由機械能守恒得：
 

1

2

mv_A′²=

1

2

mv₀²+2mgR，
解得，v_A′=

5gR

答：
（1）小剛從B點飛出的速度大小是

gR

．
（2）小球自A點進入軌道時的速度大小是

5gR

．
（3）為了使小球到達B點，它在的A點進入軌道時的速度至少為

5gR

．

點評：本題是牛頓第二定律、向心力公式、平拋運動規律的綜合運用問題，關鍵理清小球的運動情況，然后分階段列式求解．