Question

（18分）萬有引力定律揭示了天體運動的規律與地上物體運動規律具有內在的一致性。
（1）用彈簧秤稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結果。已知地球的質量為M，自轉周期為T，引力常量為G。將地球看作是半徑為R，質量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響。設在地球北極地面稱量時，彈簧秤的讀數是F₀。
a.若在北極上空h處稱量，彈簧秤的讀數為F₁，求比值F₁/F₀的表達式（并就的情形算出具體數值，（計算結果保留兩位有效數字）
b.若在赤道地面處稱量，彈簧秤的讀數為F₂，求比值F₂/F₀的表達式
（2）設想地球繞太陽公轉的半徑為r，太陽的半徑為R_S，地球的半徑為R，三者均減小為現在的1.0%，太陽和地球的密度均勻且不變，僅考慮太陽和地球之間的相互作用，以現實地球的1年為標準，計算“設想地球”的一年將變為多長？

Answer 1

（1） ；  （2）不變

試題分析：（1）設物體的質量m。
a．物體處于北極以及北極上方時，萬有引力等于重力，，
在北極上空h處
可得
當時，
b.在赤道上彈簧秤的讀數表示重力的大小，即，可以求得
（2）地球繞太陽做勻速圓周運動，受到太陽的萬有引力。設太陽的質量為M_S，地球的質量為M，地球公轉的周期為T_E。
根據太陽的引力提供地球的向心力，
太陽的質量，其中ρ為太陽的密度。
所以有
從上式可以看出當r、R、R_S均變為現在的百分之一時，周期不變，即“設想地球”的一年與現實地球的1年相同。