Question

【題目】如圖所示,有一發射器正對豎直軸OO＇并繞軸高速旋轉的紙質圓筒B水平變速發射質量為m1＝0.01kg的子彈A,子彈A運動中穿過圓筒B且只在B上留下一個彈孔,子彈穿過B后擊中質量為m2＝0.99kg的木塊C并留在C中(A、C可視為質點),C在長木板D的左端,已知D的質量m3＝3kg、長度L1＝0.375m且處在光滑的水平桌面上;水平桌面的右端有一很薄的與D等高的固定擋板E,D的右端到E的距離L2＝0.125m,D碰到E即被鎖定,此后C可能飛到桌面下方的水平地面上;已知紙質圓筒直徑d＝30cm、勻速旋轉的角速度ω＝π×103rad/s,C與D之間的動摩擦因數μ＝0.1,D的上表面距離地面高H＝5m,子彈穿過紙筒的過程中所受的摩擦力忽略不計,取g＝10m/s2.

(1)為了讓子彈穿過紙質圓筒的時間盡可能短,變速發射器可發射的三級初速度分別是多少？

(2)在三級初速度發射的子彈中,最終能否與長木板D達到共同速度?在能與D達到共速情形時A、C整體能否落到地面上?若能,A、C整體落到地面上距桌邊的距離多大?

Answer 1

【答案】(1)300m/s、100m/s、60m/s

(2)若子彈的初速度是300m/s,則A、C整體不能與D達到共同速度;若子彈的初速度是100m/s,則A、C整體能與D達到共同速度,落到水平地面上的距離為0.25m;若子彈的初速度是60m/s,A、C整體能與D達到共同速度,不能做平拋運動,最終A、C整體減停在長木板上.

【解析】

(1)子彈穿過紙質圓筒后只留下一個彈孔,且穿過紙筒的時間盡可能的短,紙筒轉過的角度應滿足:

α＝(2n＋1)π(n取0、1、2)………………………①

子彈穿過紙質圓筒的時間為:

t＝ ……………………………②

則子彈的速度為:

v＝ ＝ ……………………………③

把n＝0、1、2分別代入③式得子彈的速度分別為:

v1＝300m/s,v2＝100m/s,v3＝60m/s………………………………④

(2)設子彈A打入C后,A、C整體的共同速度為v11,由動量守恒定律得:

m1v＝(m1＋m2)v11…………………………………………………⑤

假設A、C整體能夠與D達到的共同速度為v22,由動量守恒定律得:

(m1＋m2)v11＝(m1＋m2＋m3)v22……………………………………⑥

設此過程中A、C整體相對于D滑動的位移是x1,由能量守恒定律得:

μ(m1＋m2)gx1＝ (m1＋m2)v112－ (m1＋m2＋m3)v222………………⑦

聯立⑤⑥⑦得:

x1＝ …………………⑧

討論:

Ⅰ.當v＝v1＝300m/s時,代入⑧式得:

x1＝3.375m>L1

說明此種情況下A、C整體與D不能共速.

Ⅱ.當v＝v2＝100m/s時,代入⑧式得:

x1＝0.375m＝L1

說明此種情況下A、C整體剛好沒有滑離D.設此過程中D相對桌面的位移是y1,由動能定理得:

μ(m1＋m2)gy1＝ m3v222………⑨

聯立④⑤⑥⑨式,并代入數據得:

v22＝0.25m/s,y1＝0.09375m<0.125m＝L2……………⑩

則A、C整體剛好滑到D的右端時,還沒有與E碰撞,說明此種情況下A、C整體能與D共速,當D與E碰撞并鎖定后,A、C整體做平拋運動,設落到水平地面上的距離為s,由平拋運動知識得:

t＝＝1s，s＝v22t＝0.25×1m＝0.25m…………………………

Ⅲ.當v＝v3＝60m/s時,代入⑧式得:

x1＝0.135m<L1

說明此種情況下A、C整體沒有滑離D.

設此過程中D相對桌面的位移是y2,由動能定理得:

μ(m1＋m2)gy2＝m3v222………

聯立④⑤⑥式,并代入數據得:

v22＝0.15m/s,y2＝0.03375m<L2=0.125m…………

則A、C整體還沒有滑到D的右端時能與D共速,當D與E碰撞并鎖定后,A、C整體將以v22＝0.15m/s繼續滑行,設完全減停的距離為Δx,由動能定理得:

μ(m1＋m2)gΔx= (m1＋m2)v222……………………………………………………

代入數據得:

Δx=0.01125m<L1－x1=0.375m－0.135m=0.24m…………………

可見:A、C整體減停在長木板上,不能做平拋運動