Question

PQ、MN間存在勻強電場，場強為E，沿場強方向固定一絕緣細桿，桿上套有兩個質量均為m的絕緣小球A、B，小球A帶正電，電荷量為q，小球B不帶電．將A、B從相距為L的兩點由靜止釋放，之后A、B間的碰撞為彈性碰撞，碰撞時間極短且碰撞時沒有電荷轉移，運動中小球A的電荷量不變，求：
（1）從A、B間的第一次碰撞到發生第二次碰撞，小球A運動的距離；
（2）若小球B出電場時的動能為16qEL，則A、B間發生了幾次碰撞？
（3）若小球B出電場時的動能為16qEL，則小球A出電場時的動能多大？

Answer 1

分析：（1）A、B間發生彈性碰撞，遵守動量守恒和機械能守恒，根據兩大守恒列式可知：由于質量相等，兩球交換速度．先根據動能定理求出第一次碰撞前A的速度，根據碰撞的規律得到碰后兩球的速度．再運用動能定理和運動學公式結合求解即可；
（2）運用動能定理和運動學公式結合，分別求出碰撞第二次、第三次碰撞后小球B出電場時的動能，即可判斷A、B間發生了幾次碰撞．
（3）若第四次碰撞發生后小球A即離開電場，對A球運用動能定理求解小球A出電場時的動能．若小球A在將要發生第五次碰撞時才離開電場，運用動能定理和運動學公式求解即可．

解答：解：A、B間發生彈性碰撞，設每次碰撞A、B的速度分別為v₁、v₂，碰后的速度分別為v′₁、v′₂，
由動量守恒定律和能量守恒定律得：
 mv₁+mv₂=mv′₁+mv′₂ ①
 

1

2

m

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

=

1

2

mv

’

2 1

+

1

2

mv

’

2 2

  ②
聯立①②解得 v′₁=v₂，v′₂=v₁或v′₁=v₁，v′₂=v₂（舍去），即每次碰撞兩球都交換速度．
（1）設第一次碰撞前小球A的速度為v₁，由動能定理得：qEL=

1

2

m

v

2 11

  ③
則第一次碰撞后 v′₁₁=0，v′₂₁=v₁₁，小球A又開始做初速度為零的勻加速運動，小球B則以速度v₁做勻速運動，設從A、B間的第一次碰撞到第二次碰撞前小球A運動的距離為L₂，則
 qEL2=

1

2

m

v

2 12

 ④
L2=v11t，L2=

v12

2

t  ⑤
聯立③④⑤解得 v₁₂=2v₁₁，L₂=4L
（2）第二次碰后v′₁₂=v₁₁，v′₂₂=v₁₂=2v₁₁，設第三次碰撞前A運動的距離為L₃，則   qEL3=

1

2

m

v

2 13

-

1

2

m

v

2 11

  ⑥
L3=v12t，L3=

v11+v13

2

t  ⑦
聯立解得：v₁₃=3v₁₁，L₃=8L₁=2L₂
第三次碰后v′₁₃=v₁₂=2v₁₁，v′₂₃=v₁₃=3v₁₁，小球B的動能為Ek3=

1

2

m

v

2 13

=9

1

2

m

v

2 11

=32qEL，
因此當小球B出電場時的動能為16qEL=4²qEL時，A、B間發生了四次碰撞．
（3）第四次碰撞后，小球A的速度v′₁₄=v₁₃=3v₁₁，若第四次碰撞發生后小球A即離開電場，則A的動能  EkA=

1

2

m

v

2 13

=9qEL，
若小球A在將要發生第五次碰撞時才離開電場，則qEL5=E′kA-

1

2

m

v

2 13

  ⑧
  L₅=2（n-1）L₂=8L₂=16L  ⑨
解得：E′_kA=25qEL，故有 9qEL≤E_kA＜25qEL
答：
（1）從A、B間的第一次碰撞到發生第二次碰撞，小球A運動的距離為4L；
（2）若小球B出電場時的動能為16qEL，則A、B間發生了四次碰撞．
（3）若小球B出電場時的動能為16qEL，則小球A出電場時的動能為9qEL≤E_kA＜25qEL．

點評：分析清楚物體的運動過程與運動性質，抓住兩球彈性碰撞的基本規律：動量守恒和機械能守恒，兩球質量相等會交換速度．再應用勻變速運動的速度公式、位移公式和動能定理即可正確解題．