Question

15．如圖所示，傾角為θ的斜面上PQ部分粗糙，且長為3L，其余部分都光滑．形狀相同、質量分布均勻的三塊薄木板A、B、C沿斜面排列在一起，但不粘接．每塊薄木板長均為L，質量均為m，與斜面PQ間的動摩擦因數均為2tanθ．將它們從P上方某處由靜止釋放，三塊薄木板均能通過Q．重力加速度為g．求：
（1）薄木板A上端到達P時受到B的彈力；
（2）薄木板A在PQ段運動速度最大時的位置；
（3）釋放木板時，薄木板A下端離P距離滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）對三個薄木板整體運用用牛頓第二定律求出整體的加速度，再隔離A，由牛頓第二定律求B對A的作用力．
（2）薄木板A在PP′、QQ′間運動時，將三塊薄木板看成整體，當它們下滑到下滑力等于摩擦力時運動速度達最大值，由此列式求解滑塊A的下端離P處的距離．
（3）要使三個薄木板都能滑出QQ′處，薄木板C中點過QQ′處時它的速度應大于零．薄木板C全部越過PP′前，三木板是相互擠壓著，全部在PP′、QQ′之間運動無相互作用力，離開QQ′時，三木板是相互分離的．分段由動能定理列式求解．

解答 解：（1）對三個薄木板整體用牛頓第二定律有：
3mgsinθ-μmgcosθ=3ma
得到：a=$\frac{1}{3}$gsinθ
對A薄木板用牛頓第二定律有：F+mgsinθ-μmgcosθ=ma
則得：F=$\frac{4}{3}$mgsinθ

（2）薄木板A在PP′、QQ′間運動時，將三塊薄木板看成整體，當它們下滑到下滑力等于摩擦力時運動速度達最大值，則有：
μm_xgcosθ=3mgsinθ
得到：${m}_{x}=\frac{3}{2}m$
即滑塊A的下端離P處1.5L處時的速度最大；
（3）要使三個薄木板都能滑出QQ′處，薄木板C中點過QQ′處時它的速度應大于零．
薄木板C全部越過PP′前，三木板是相互擠壓著，全部在PP′、QQ′之間運動無相互作用力，離開QQ′時，三木板是相互分離的．             
設C木板剛好全部越過PP′時速度為v．
①對木板C用動能定理有：mgsinθ×$\frac{5}{2}L$$-（μmgcosθ×2L+\frac{3}{4}μmgcosθ×\frac{1}{2}L）$=0-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：$v=\sqrt{4.5gLsinθ}$；
②設開始下滑時，A的下端離PP′處距離為x，對三木板整體用動能定理有：
3mgsinθ×（3L+x）-μ×$\frac{3}{2}mgcosθ×3L$=$\frac{1}{2}×3m{v}^{2}$-0
得到：x=2.25L                                    
即釋放時，A下端離PP′距離為：x＞2.25L．
答：（1）薄木板A上端到達P時受到B的彈力為$\frac{4}{3}$mgsinθ；
（2）滑塊A的下端離P處1.5L處時的速度最大；
（3）釋放木板時，薄木板A下端離P距離滿足的條件是：釋放時，A下端離PP′距離x＞2.25L．

點評 本題首先要正確分析木板的受力情況，判斷其運動情況，采用整體法和隔離法結合求木板間的彈力是比較慣用的方法．運用動能定理時，要求同學們能選取合適的過程．