Question

小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內做圓周運動．當球某次運動到最低點時，繩突然斷掉，球飛行水，
平距離d后落地，如圖所示，已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為

3

4

d，重力加速度為g．忽略手的運動半徑和空氣阻力．求：
（1）繩斷時球的速度大小v₁；
（2）繩能承受的最大拉力；
（3）改變繩長（繩承受的最大拉力不變），保持手的位置不動，使球重復上述運動，若繩仍在球運動到最低點時斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應為多少？最大水平距離為多少？

Answer 1

分析：（1）繩斷后，小球做平拋運動，根據平拋運動的高度求出時間，根據水平位移和時間求出繩斷時球的速度大小．
（2）根據在最低點，合力提供向心力，運用牛頓第二定律求出最大拉力．
（3）根據最大拉力，通過牛頓第二定律求出繩斷后的速度與繩長的關系，根據平拋運動求出平拋運動水平位移的表達式，通過數學方法二次函數求極值，求出l為多少時，x最大．

解答：解：（1）設繩斷后球做平拋運動的時間為t₁，
豎直方向上：

1

4

d=

1

2

gt12，水平方向上：d=v₁t₁
解得v1=

2gd

．
（2）設繩能承受的最大拉力為F_m．
球做圓周運動的半徑為R=

3

4

d
Fm-mg=m

v12

R

解得Fm=

11

3

mg．
（3）設繩長為l，繩斷時球的速度為v₂．
有：Fm-mg=m

v22

l

，解得v2=

8gl 3

．
繩斷后球做平拋運動，豎直位移為d-l，水平位移為x，時間為t₂．
有：d-l=

1

2

gt22，x=v₂t₂．
得x=4

ld-l2 3

當l=

d

2

時，x有極大值xmax=

2 3

3

d．
答：（1）繩斷時球的速度大小v1=

2gd

．
（2）繩能承受的最大拉力為Fm=

11

3

mg．
（3）要使球拋出的水平距離最大，繩長應為

d

2

，最大水平距離為xmax=

2 3

3

d．

點評：本題綜合了平拋運動和圓周運動兩個運動，關鍵知道平拋運動在豎直方向和水平方向上的運動規(guī)律，以及圓周運動向心力的來源．