Question

試根據開普勒第三定律和牛頓運動定律證明太陽與行星間的引力大小與太陽的質量和行星的質量的乘積成正比，與兩者距離的二次方成反比（提示：可將行星的運動看作是以太陽為圓心的勻速圓周運動）．

Answer 1

分析：星繞太陽能做圓周運動，是由引力提供向心力來實現的．再由開普勒第三定律可推導出萬有引力定律．由圓周運動可算出向心加速度大小，再將月球做圓周運動的向心加速度與地球表面重力加速度進行比較，從而證明：重力和星體間的引力是同一性質的力．

解答：解：設行星的質量為m，太陽質量為M，行星繞太陽做勻速圓周運動的軌道半徑為R，公轉周期為T，太陽對行星的引力為F．
太陽對行星的引力提供行星運動的向心力F=m（

2π

T

）²R=

4π2m

T2

R
根據開普勒第三定律

R3

T2

=K得：T²=

R3

K

故F=

4π2mK

R2

根據牛頓第三定律，行星和太陽間的引力是相互的，太陽對行星的引力大小與行星的質量成正比，反過來，行星對太陽的引力大小與也與太陽的質量成正比．所以太陽對行星的引力F∝

Mm

R2

寫成等式有F=

GMm

R2

（G為常量）．
即：太陽與行星間的引力大小與太陽的質量和行星的質量的乘積成正比，與兩者距離的二次方成反比．

點評：本題考查萬有引力定律公式通過理論進行科學、合理的推導．