Question

如圖（甲）是游樂場中雙環過山車的實物圖片,圖（乙）是過山車的原理圖。在原理圖中半徑分別為R₁=2.0m和R₂=8.0m的兩個光滑圓形軌道被固定在傾角為α=37°斜直軌道面上的Q、Z兩點處（Q、Z是圓軌道的接口，也是軌道間的切點）, 圓形軌道與斜直軌道之間圓滑連接，且在同一豎直面內。PQ之距L₁ =6m, QZ之距L₂ =18m，兩圓形軌道的最高點A、B均與P點平齊。現使一輛較小的過山車(視作質點)從P點以一定初速度沿斜面向下運動。已知斜軌道面與小車間的動摩擦因數為μ=1/24 , g=10m/s²,sin37⁰ =0.6 , cos37⁰ =0.8。

（1）若車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點A處,則其在P點的初速度應為多大?

（2）若車在P處的初速度變為10m/s,則小車經過第二個軌道的最低點D處時對軌道的壓力是重力的幾倍？計算說明車有無可能出現脫軌現象?

Answer 1

（1）2√6 m/s

（2）6.05mg，車不會脫軌

解析:

（1）mg=mV_A²/R₁  ①----------------------------------------------------------2分

    mV_A²/2 - mV₀²/2 = -μmgcos37⁰ L₁  ②--------------------------------------2分

    V₀=2√6 m/s -----------------------------------------------------------1分

（2）mV_D²/2 - mV₀²/2 = 2mgR₂ -μmgcos37⁰(L₁+L₂)  ③--------------------------------2分

    F-mg=mV_D²/R₂  ④------------------------------------------------------------2分

    F = 6.05mg ----------------------------------------------------------------1分

因100m/s>2√6 m/s，故車不會在第一個圓軌道脫軌。---------------------------------1分

判車能否到達最高點B處：假定車恰能到達B處，所需的初速度為V₀^/，有：

mg=mV_B²/R₂ ⑥ ；mV_B²/2 - mV₀^/2/2 = -μmgcos37⁰(L₁+L₂)⑦   得V₀^/ =4√6 m/s ，V₀>V₀^/  ----1分

綜合分析，車不會脫軌。（其它方法，正確的給同樣的分）