Question

14．如圖所示，在豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xOy，該平面內(nèi)有AM、BM、CM三條光滑固定軌道，其中A、C兩點處于同一個圓上，C是圓上任意一點，A、M分別為此圓與y、x軸的切點．B點在y軸上且∠BMO=60°，O′為圓心．現(xiàn)將a、b、c三個小球分別從A、B、C點同時由靜止釋放，它們將沿軌道運動到M點，如所用時間分別為t_A、t_B、t_C，則t_A、t_B、t_C大小關(guān)系是（　　）

• A． t_A＜t_C＜t_B
• B． t_A=t_C=t_B
• C． t_A=t_C＜t_B
• D． 由于C點的位置不確定，無法比較時間大小關(guān)系

Answer 1

分析 根據(jù)幾何關(guān)系分別求出各個軌道的位移，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，再根據(jù)勻變速直線運動的位移時間公式求出運動的時間，從而比較出到達(dá)M點的先后順序．

解答 解：設(shè)⊙O′的半徑為R，根據(jù)幾何知識可知，OA=OM=R，
由勾股定理得，AM=$\sqrt{O{A}^{2}+O{M}^{2}}$=$\sqrt{2}$R，
即小球沿AM運動的位移x_A=$\sqrt{2}$R，
由牛頓第二定律得，mgsin45°=ma_A，
解得：a_A=$\frac{\sqrt{2}}{2}$g，
由x=$\frac{1}{2}$at²得，小球沿AM運動的時間：
t_A=$\sqrt{\frac{2{x}_{A}}{{a}_{A}}}$=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
根據(jù)幾何知識可知，BM=2OM=2R，
即小球沿BM運動的位移x_B=2R，
由牛頓第二定律得，mgsin60°=ma_B，
解得：a_B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$g，
小球沿BM運動的時間：
t_B=$\sqrt{\frac{2{x}_{B}}{{a}_{B}}}$=$\sqrt{\frac{8R}{\sqrt{3}g}}$，
設(shè)CM與x軸正向的夾角為θ，由幾何關(guān)系可知，CM=2Rsinθ，
即小球沿CM運動的位移x_C=2Rsinθ，
由牛頓第二定律得，mgsinθ=ma_C，
解得：a_C=gsinθ，
小球沿CM運動的時間：
t_C=$\sqrt{\frac{2{x}_{C}}{{a}_{C}}}$=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
則t_A、t_B、t_C大小關(guān)系是：t_A=t_C＜t_B．
故選：C．

點評 解決本題的關(guān)鍵充分利用幾何關(guān)系得出每一段的位移，熟練運用牛頓第二定律和勻變速直線運動的位移時間公式即可正確解題，有一定的難度．