Question

如圖所示，光滑水平面上有A、B兩輛小車，m_A=m_B=1kg，m_C=0.5kg．現將小球C用長l=0.2m的細線懸于A車支架上的O點，O點距地面高度為1.45m，開始A車與球C以v₀=4m/s的速度沖向原來靜止的B車，如果A、B正碰后粘在一起，不計一切阻力，g=10m/s²．求：
（1）A、B粘在一起瞬間的速度．
（2）小球C擺動的最大高度．
（3）小球C回到O點正下方時細線對小球的拉力．
（4）如果當小球C第一次回到O點的正下方時，突然斷裂，小球落地時與此時小車懸點O的水平距離．

Answer 1

分析：光滑水平面上有A、B兩輛小車，發生正碰的瞬間，由于正碰后粘在一起的時間極短，小球C暫未參與碰撞，由動量守恒，求出碰后的A、B兩車的速度；
碰后，A、B粘在一起，小球C向左擺動，細繩水平方向分力使A、B加速，當C的速度與A、B水平方向的速度相同時，小球C擺至最高點，以A、B、C組成的系統為研究對象，由動量守恒求出A、B、C的共同速度，然后設小球C擺至最大高度為h，由機械能守恒，即可得解小球C擺動的最大高度；
小球C回到O正下方根據動量守恒求C的速度，然后根據牛頓第二定律求小球所受的拉力；
小球斷裂后做平拋運動，求出C平拋的水平位移與這段時間內AB前進的距離，二者之和為小球落地時與此時小車懸點O的水平距離．

解答：解：（1）以A、B小車組成的系統為研究對象，由于正碰后粘在一起的時間極短，小球C暫未參與碰撞，由動量守恒定律有：m_Av₀=（m_A+m_B）v
得v=

1×4

1+1

=2m/s
（2）碰后，A、B粘在一起，小球C向左擺動，細繩水平方向分力使A、B加速，當C的速度與A、B水平方向的速度相同時，小球C擺至最高點，以A、B、C組成的系統為研究對象，由動量守恒有：m_Cv₀+（m_A+m_B）v=（m_A+m_B+m_C）v′
得v′=2.4 m/s．

1

2

m_C v₀²+

1

2

（m_A+m_B）v²=（m_A+m_B+m_C）v^′2+m_Cgh
得：h=0.16m．
（3）球擺到最低點時，由動量守恒有
m_Cv₀+（m_A+m_B）v=（m_A+m_B）v₁-m_cv₂
由能量守恒有：

1

2

m_C v₀² +

1

2

（m_A+m_B）v²=

1

2

m_C v₂²+

1

2

（m_A+m_B）v₁²
聯立兩方程得：v₁=3.5m/s   v₂=2m/s
對球在最低點受力分析，根據牛頓第二定律有：T-mg=m

v22

l

得：T=15N
（4）如果當小球C第一次回到O點的正下方時，突然斷裂
斷裂后小球做平拋運動：h-l=

1

2

gt²
x₁=v₂t
小車做勻速直線運動：x₂=v₁t
得△x=x₁+x₂=1m
答：（1）A、B粘在一起瞬間的速度2m/s．
（2）小球C擺動的最大高度0.16m．
（3）小球C回到O點正下方時細線對小球的拉力15N．
（4）如果當小球C第一次回到O點的正下方時，突然斷裂，小球落地時與此時小車懸點O的水平距離1m．

點評：在水平方向沒有外力做功的情況下運用動量守恒，和只有重力做功情況下的機械能守恒來解決實際問題．