Question

7．2013年12月2日，我國成功發射探月衛星“嫦娥三號”，該衛星在環月圓軌道繞行n圈所用的時間為t，月球半徑為R_月，月球表面處重力加速度為g_月．
（1）請推導出“嫦娥三號”衛星離月球表面高度的表達式；
（2）地球半徑是月球半徑的4倍，地球表面重力加速度是月球的6倍，求地球和月球的質量之比．

Answer 1

分析 （1）“嫦娥三號”星繞月球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力列出等式．忽略星球自轉的影響，根據萬有引力等于重力列出等式求解．
（2）根據重力等于萬有引力表示出質量進行之比．

解答 解：（1）由題意知，“嫦娥二號”衛星的周期為T=$\frac{t}{n}$設衛星離月球表面的高度為h，由萬有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{（{R}_{月}^{\;}+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（{R}_{月}^{\;}+h）$
根據重力等于萬有引力，有：
$G\frac{Mm′}{{R}_{月}^{2}}=m′{g}_{月}^{\;}$
聯立解得：$h=\root{3}{\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{月}^{2}{t}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}{n}_{\;}^{2}}}-{R}_{月}^{\;}$
（2）設星球的密度為ρ，由$G\frac{Mm′}{{R}_{\;}^{2}}=m′g$得：$GM=g{R}_{\;}^{2}$
解得：$ρ=\frac{3g}{4πRG}$$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
將$\frac{{R}_{地}^{\;}}{{R}_{月}^{\;}}=4$，$\frac{{g}_{地}^{\;}}{{g}_{月}^{\;}}=6$代入上式解得：$\frac{{ρ}_{地}^{\;}}{{ρ}_{月}^{\;}}=\frac{3}{2}$$\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{月}^{\;}}=\frac{{g}_{地}^{\;}{R}_{地}^{2}}{{g}_{月}^{\;}{R}_{月\\;}^{2}}=6×{4}_{\;}^{2}=96$
答：（1）請推導出“嫦娥三號”衛星離月球表面高度的表達式；
（2）地球半徑是月球半徑的4倍，地球表面重力加速度是月球的6倍，求地球和月球的質量之比96：1

點評 本題考查應用物理知識分析研究科技成果的能力，基本原理：建立模型，運用萬有引力等于向心力研究．向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．