Question

在平面直角坐標系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y軸正方向的勻強電場，場強大小為E．第Ⅲ、第Ⅳ象限-d≤y≤0內存在垂直于坐標平面向內的勻強磁場．一質量為m、電荷量為-q的帶負電的粒子從y軸上的M點以速度υ₀垂直于y軸射入電場，經x軸上的N點與x軸正方向成θ=60°角射入磁場，恰好不會從磁場的下邊界射出磁場，如圖所示．不計粒子的重力，求
（1）M、N兩點間的電勢差U；
（2）磁場的磁感應強度大小B；
（3）粒子從M點運動到第一次離開磁場的總時間t．

Answer 1

分析：（1）粒子在第一象限的電場中做類平拋運動，由動能定理可以求出M、N兩點間的電勢差．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，作出粒子的運動軌跡，由數學知識求出粒子的軌道半徑；
洛倫茲力提供粒子做圓周運動的向心力，由牛頓第二定律可以求出磁感應強度．
（3）求出粒子在磁場中的運動時間，求出粒子在電場中做類平拋運動的時間，然后求出粒子總的運動時間．

解答：解：（1）粒子離開第一象限的電場時，粒子速度v=

v0

cos60°

=2v₀，
電子在電場中做類平拋運動，
由動能定理得：qU=

1

2

mυ2-

1

2

m

υ

2 0

，
解得：U=

3m v 2 0

2q

；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，運動軌跡如圖所示，
由數學知識可得：rsin30°+r=d，
由牛頓第二定律得：qBv=m

v2

r

，
解得：B=

3mυ0

qd

；
（3）粒子在磁場中做圓周運動的周期：T=

2πr

qB

=

2πm

qB

，
由粒子在磁場中的運動軌跡，由數學知識可得，粒子轉過的圓心角為240°，
粒子在磁場中的運動時間：t2=

240

360

T，
粒子離開電場時豎直方向的分速度v_y=vsin60°=

3

v₀，
由牛頓第二定律得：a=

qE

m

，
由勻變速運動的速度公式：v_y=at₁，
解得，粒子的運動總時間：t=t₁+t₂=

3 mv0

qE

+

4πm

3qB

；
答：（1）M、N兩點間的電勢差為

3m v 2 0

2q

；
（2）磁場的磁感應強度大小為

3mv0

qd

；
（3）粒子從M點運動到第一次離開磁場的總時間為

3 mv0

qE

+

4πm

3qB

．

點評：本題是帶電粒子在電場、磁場中運動的綜合題，根據題意作出粒子的運動軌跡．應用數學知識求出粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑、粒子轉過的圓心角，是本題的難點，也是正確解題的關鍵．