Question

如圖所示，在平面直角坐標系xoy中的第一象限內存在磁感應強度大小為B、方向垂直于坐標平面向內的有界圓形勻強磁場區域（圖中未畫出）；在第二象限內存在沿x軸負方向的勻強電場，電場強度大小為E．一電子源固定在x軸上的A點，A點坐標為（-L，0）．電子源沿y軸正方向釋放出速度大小為v的電子，電子恰好能通過y軸上的C點，電子經過磁場后速度沿y軸負方向（已知電子的質量為m，電荷量為e，不考慮電子的重力和電子之間的相互作用）．求：
（1）C點的坐標；
（2）電子經過C點時的速度大小；
（3）若電子經過C點的速度與y軸正方向成60°角，求圓形磁場區域的最小面積．

Answer 1

分析：（1）粒子從A到C的過程中做類平拋運動，平行y軸方向做勻速直線運動，平行x方向做勻加速直線運動，根據分位移公式列式求解；
（2）對從A到C的過程運用動能定理列式求解即可；
（3）先根據洛倫茲力提供向心力列式求解半徑，然后畫出軌跡圖，結合幾何關系得到圓形磁場區域的半徑，求解出最小面積．

解答：解：（1）從A到C的過程中，電子做類平拋運動，有：
L=

1

2

Ee

m

t2       ①
y=vt          ②
聯立12式，可解得：
y=v

2mL eE

      ③
（2）設電子到達C點的速度大小為v_C，方向與y軸正方向的夾角為θ．
由動能定理，有：

1

2

m

v

2 C

-

1

2

mv2=eEL④
解得vC=

v2+ 2EeL m

（3）畫軌跡如右圖所示：
電子在磁場中做勻速圓周運動的半徑：
r=

mvC

eB

=

2mv

eB

(或r=

m v2+ 2EeL m

eB

)
電子在磁場中偏轉120°后垂直于X軸射出，由幾何關系得圓形磁場區域的最小半徑為：
Rmin=

PQ

2

=rsin60°
由56兩式可得：
Rmin=

3 mv

eB

(或Rmin=

3

2

?

m v2+ 2eEL m

eB

)
圓形磁場區域的最小面積為：
Smin=

3πm2v2

e2B2

[或Smin=

3πm(mv2+2eEL)

4e2B2

]
答：（1）C點的坐標為（0，v

2mL eE

）；
（2）電子經過C點時的速度大小為

v2+ 2EeL m

；
（3）若電子經過C點的速度與y軸正方向成60°角，圓形磁場區域的最小面積為

3πm2v2

e2B2

．

點評：本題關鍵明確粒子的運動規律，先類似平拋運動，然后勻速圓周運動；然后根據類似平拋運動的分位移公式、動能定理、牛頓第二定律列式求解；同時要注意結合幾何關系分析磁場區的最小面積．