Question

質量為 M、半徑為 R 的勻質水平圓盤靜止在水平地面上，盤與地面間無摩擦。圓盤中心處有一只質量為 m 的小青蛙(可處理成質點)，小青蛙將從靜止跳出圓盤。為解答表述一致，將青蛙跳起后瞬間相對地面的水平分速度記為 vx，豎直向上的分速度記為 vy，合成的初始速度大小記為 v，將圓盤后退的速度記為 u。

 (1)設青蛙跳起后落地點在落地時的圓盤外。

 (1.1)對給定的 vx，可取不同的 vy，試導出跳起過程中青蛙所做功 W 的取值范圍，答案中可包含的參量為 M、R、m、g(重力加速度)和 vx。 

(1.2)將(1.1)問所得 W 取值范圍的下限記為 W0，不同的 vx對應不同的 W0值，試導出其中最小者 Wmin，答案中可包含的參量為 M、R、m 和 g。 

(2)如果在原圓盤邊緊挨著放另外一個相同的靜止空圓盤，青蛙從原圓盤中心跳起后瞬間，相對地面速度的方向與水平方向夾角為 45°，青蛙跳起后恰好能落在空圓盤的中心。跳起過程中青蛙所作功記為 W’，試求 W’與(1.2)問所得 Wmin間的比值 γ=W‘/Wmin，答案中可包含的參量為 M 和 m。        

Answer 1

解析：(1) 青蛙跳起后落地點在圓盤外。

 (1.1) 青蛙跳起過程，水平方向動量守恒。由動量守恒定律，m vx =M u，

vx t+ut>R，

vy =gt/2，

v2= vx2+ vy2。

跳起過程中青蛙做功 W =m v2+Mu2。

聯立解得：W >m vx2++.

(1.2) W0 =m vx2++=+

由于·=為定值，根據兩個正數積一定，兩數相等時，和最小，即=，解得vx2=。

可得Wmin =+.。

 (2) 設青蛙起跳速度為v，青蛙跳起過程，水平方向動量守恒。由動量守恒定律，

m vcos 45°=M u，

v cos 45°t=2R，

vsin45°=gt/2，

跳起過程中青蛙做功 W’=m v2+Mu2。

聯立解得：W ‘=(1+)mgR。

γ=W‘/Wmin =..

【點評】此題以小青蛙在水平圓盤跳躍切入，意在考查動量守恒定律、功、運動的合成和分解及其相關知識。此題需要運用數學知識求得功的極小值。