Question

如圖所示，粗細均勻一端封閉、一端開口的細玻璃管總長為100cm，中央折成直角，使它一半水平，一半豎直，外界大氣壓為＝76cmHg不變，管內有30cm長的水銀柱將一部分空氣封閉于封閉端，當管內空氣為－17℃時，空氣柱長40cm．

 (1)當管內氣體溫度上升到30℃時，管內空氣柱有多長？

(2)要將管內水銀全部排空，管內氣溫至少應大于多少攝氏度？(假設溫度上升是緩慢的)

Answer 1

    （1）   45cm    （2）T≥516.4L可全部排空水銀．

解析:

本題的最高溫度是否恰好在水銀全部排空的時刻，極有可能成為意外的盲點，因為在排空水銀的過程中壓強在減小，排空的速度在加快，氣體對外做功的速度也在加快，當然會引起內能減少的加快，如果做功的速度大于吸熱的速度，溫度就會降低，也就是說，溫度的最高點應出現在做功的速度等于吸熱的速度的那一刻．

　(1)設水銀恰好全部進入豎直管內，有：

　　＝(76＋20)cmHg＝96cmHg

　　＝40cm

　　＝(273－17)K＝256K

　　＝(76＋30)cmHg＝106cmHg

　　＝50cm

　　＝？

　　據

　　有

×256K=353.4L

　　＝80.3℃＞30℃，故30℃時有水銀在水平管內，設水銀留有x長，有此時壓強：

＝(106－x)cmHg

＝(50－x)cm

　　據

　　有

　　解得：x＝5cm

　　所以：＝(50－5)cm＝45cm

　 (2)設管口還留有水銀柱h cm時，溫度為是排空過程中溫度的極大值有：

＝(76－h)cmHg

＝(100－h)cm

　　據

　　有

　　整理：     －24h＋15－7600＝0

　　方程有解有其判別式：Δ＝242－4(15－7600)

　　解得：  ≤516.4L

　　即當    T≥516.4L可全部排空水銀．

　　溫度上升時氣體體積膨脹，水平管內的水銀逐漸減少，豎直管內的水銀逐漸增加，對30℃時水平管內有無水銀需做出判斷；要將管內水銀全部排空，應計算管內溫度的極大值，而這一極大值不一定是出現在氣體恰好全部排空的時刻．

　　[思路一]設水銀恰好全部進入豎直管內時，求此時的溫度并與30℃時的溫度相比，看水平管內此時是否留有水銀，進一步求解管內氣體溫度上升到30℃時，管內空氣柱有多長；排空水銀的過程中，設溫度的極大值出現在排空過程中的某一點，列方程即可分析求解溫度的極大值．

　　[思路二]設當管內氣體溫度上升到30℃時，水平管內留有長x的水銀柱，求出結果看是否合理，進而確定當管內氣體溫度上升到30℃時，管內空氣柱有多長；排空水銀的過程中，設溫度的極大值出現在排空過程中的某一點，列方程即可分析求解溫度的極大值．

　　[思路三]設被封氣體體積保持不變，用p/T＝Δp/ΔT可以計算出壓強的增量值，也可確定當管內氣體溫度上升到30℃時，水平管內有無水銀；排空水銀的過程中，設溫度的極大值出現在排空過程中的某一點，列方程即可分析求解溫度的極大值．