Question

9．如圖所示，質量為M=2kg的木板靜止在光滑軌道上，質量為m=1kg物塊（可視為質點）靜止在木板的左端，物塊m與木板上表面間的動摩擦因素μ=0.2，現物塊m在F=4N的水平恒力作用下向右開始運動，當物塊相對木板運動距離S=0.5m時撤去恒力F，結果物塊剛好沒有從木板上滑潞，求木板的長度L．

Answer 1

分析 對物體m受力分析：由于F＞μmg，因此當外力作用在m后，m和M之間有相對運動，根據S=x₁-x₂，求出撤去F時m和M的速度，撤去F后m做勻減速運動，M做勻加速運動，當兩者速度相同后將一起勻速向右運動，求出兩者速度相同時需要的時間，再計算這段時間內兩者的相對位移，當m剛好不掉下去時，木板的長度為兩次的相對位移之和

解答 解：物體受到的滑動摩擦力f=μmg=2N，由于F＞μmg，因此當外力作用在m后，m和M之間有相對運動，
對m根據牛頓第二定律：F-μmg=ma₁，
將F=4N，μ=0.2，m=1kg代入得：a₁=2m/s²
對M根據牛頓第二定律：μmg=Ma₂，得a₂=1m/s²
設：物塊相對木板運動距離S=0.5m時，m的位移為x₁，M的位移為x₂，m的速度v₁，M的位移為x₂
x₁=$\frac{1}{2}$a₁t²；x₂=$\frac{1}{2}$a₂t²；S=x₁-x₂將a₁=2m/s²，a₂=1m/s²代入
得：t=1s，
將t=1s代入得：v₁=a₁t=2m/s；v₂=a₂t=1m/s
撤去F后m做勻減速運動，加速度為a₃，M做勻加速運動，加速度為a₄
對m根據牛頓第二定律：μmg=ma₃，將μ=0.2，代入得：a₃=2m/s²
對M根據牛頓第二定律：μmg=Ma₄，得a₄=1m/s²
設：經過t′二者速度相同則：v=v₁-a₃t′：v=v₂₊a₄t′
解得t′=$\frac{1}{3}$s
這段時間內m的位移為s₁，M的位移為s₂，
s₁=v₁t-$\frac{1}{2}$a₃t′²；s₂=v₂t+$\frac{1}{2}$a₄t′²；
解得：s₁=（2×$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{1}{9}$）m=$\frac{5}{9}$m；s₂=（1×$\frac{1}{3}$$+\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{9}$）=$\frac{7}{18}$m
這段時間內物體之間的相對位移為△s，則△s=s₁-s₂=$\frac{1}{6}$m
板的長度為L，則L=S+△s=$\frac{2}{3}$m．
答：木板的長度L為$\frac{2}{3}$m．

點評 此題首先要判斷出m開始比M運動的快，兩者有相對運動，再分析撤去F后，兩者的運動情況，當m剛好不掉下去時，木板的長度為兩次的相對位移之和．