Question

水平固定的兩個足夠長的平行光滑桿MN、PQ，兩者之間的間距為L，兩光滑桿上分別穿有一個質量分別為M_A=0.1kg和M_B=0.2kg的小球A、B，兩小球之間用一根自然長度也為L的輕質橡皮繩相連接，開始時兩小球處于靜止狀態，如圖1所示．現給小球A一沿桿向右的水平速度v=6m/s，以向右為速度正方向，以小球A獲得速度開始計時得到A球的v-t圖象如圖2所示．（以后的運動中橡皮繩的伸長均不超過其彈性限度．）
（1）在圖2中畫出一個周期內B球的v-t圖象（不需要推導過程）；
（2）若在A球的左側較遠處還有另一質量為M_C=0.1kg粘性小球C，當它遇到小球A，即能與之結合在一起．某一時刻開始C球以4m/s的速度向右勻速運動，在A的速度為向右大小為2m/s時，C遇到小球A，則此后橡皮繩的最大彈性勢能為多少？
（3）C球仍以4m/s的速度向右勻速運動，試定量分析在C與A相遇的各種可能情況下橡皮繩的最大彈性勢能．

Answer 1

【答案】分析：（1）AB運動過程中動量守恒，根據動量守恒定律求出B球的幾個速度值，描點連成光滑曲線即可；
（2）根據動量守恒定律求出AC共同速度，再求出碰撞損失的機械能，當三球速度相同時橡皮繩子彈性勢能最大，根據能量關系求出橡皮繩的最大彈性勢能；
（3）當A球在運動過程中速度為4m/s與C球同向時，C球與之相碰時系統損失能量最小（為0），橡皮繩具有的最大彈性勢能，當A球在運動過程中速度為2m/s與C球反向時（此時B的速度為，C球與之相碰時系統損失能量最大，橡皮繩具有的最大彈性勢能，根據能量關系求解此最大彈性勢能，最后求出范圍．
解答：解：（1）AB運動過程中動量守恒，根據動量守恒定律得：
M_Av=M_Av_A+M_Bv_B
當v_A=6m/s時v_B=0
當v_A=2m/s時v_B=2m/s
當v_A=-2m/s時v_B=4m/s
所以一個周期內B球的v-t圖象如圖所示：
（2）AC碰撞，動量守恒：M_Av_A+M_Cv_C=（M_A+M_C）v_AC
解得：v_AC=3m/s
碰撞損失的機械能為：△E_K=M_Av_A²+M_Cv_C²-（M_A+M_C）v_AC²=0.1J
當三球速度相同時橡皮繩子彈性勢能最大，M_Av+M_Cv_C=（M_A+M_B+M_C）v_共
 解得：v_共=2.5m/s               
所以 E_Pmax=M_Av²+M_Cv_C²-=（M_A+M_B+M_C）v_共²-△E_K
解得：E_Pmax=1.25J               
（3）①：當A球在運動過程中速度為4m/s與C球同向時，C球與之相碰時系統損失能量最小（為0），橡皮繩具有的最大彈性勢能為E_Pmax1
E_Pmax1=M_Av²+M_Cv_C²-（M_A+M_B+M_C）v_共²=1.35J
②：當A球在運動過程中速度為2m/s與C球反向時（此時B的速度為，C球與之相碰時系統損失能量最大，橡皮繩具有的最大彈性勢能為E_Pmax2，
M_Cv_C-M_Av_A=（M_A+M_C）v′_AC
    解得v′_AC=1m/s
E_Pmax2=（M_A+M_C）v′_AC²+M_Bv_B²-（M_A+M_B+M_C）v_共²=0.45J
由上可得：橡皮繩具有的最大彈性勢能的可能值在0.45J-1.35J的范圍內．
答：（1）如圖所示；（2）此后橡皮繩的最大彈性勢能為1.25J；（3）橡皮繩具有的最大彈性勢能的可能值在0.45J-1.35J的范圍內．
點評：本題主要考查了動量守恒定律，能量守恒定律的應用，解題的關鍵是分析小球的運動情況，知道什么時候彈性勢能最大，過程較為復雜，難度較大，屬于難題．