Question

如圖所示為蕩秋千的示意圖,最初人直立站在踏板上,兩繩與豎直方向的夾角均為θ,人的重心到懸點O的距離為l₁;從A點向最低點B運動的過程中,人由直立狀態變為自然下蹲,在B點人的重心到懸點O的距離為l₂;在最低點處,人突然由下蹲狀態變成直立狀態(人的重心到懸點O的距離恢復為l₁),且保持該狀態到最高點C.設人的質量為m,不計踏板和繩的質量,不計一切摩擦和空氣阻力.求:

(1)人第一次到達最低點B還處于下蹲狀態時,從身上掉下一件物品,問物品落地點到最低點的距離為多少?假設人在最低點時離地面高度為h.
(2)人第一次到達最高點C時,繩與豎直方向的夾角α為多大?(可用反三角函數表示;解答本問時不考慮超重和失重)

Answer 1

(1)
(2)arccos(cosθ-)

(1)人從A點到B點(還處于下蹲狀態)的過程中,設B點此時的速度為v
根據機械能守恒得
mg(l₂-l₁cosθ)= mv²
物品落地的時間為t,有
物品落地點的水平位移x=vt
解得
則該點離最低點B的距離
(2)人從B點保持直立狀態到達C點的過程中,根據機械能守恒定律=mgl₁(1-cosα)
解得α=arccos(cosθ-).