Question

如圖所示，輕質彈簧的一端固定在地面上，另一端與質量為M=1.5Kg的薄木板A相連，質量為m=0.5Kg的小球B放在木板A上，彈簧的勁度系數為k=2000N/m．現有一豎直向下、大小F=20N的力作用在B上且系統處于靜止狀態，在B球正上方處由一四分之一內壁光滑豎直圓弧軌道，圓弧半徑R=0.4m，圓弧下端P點距離距離彈簧原長位置高度為h=0.6m．撤去外力F后，B豎直上升最終從P點切入原軌道，到達Q點的速度為v_Q=4m/s．（g=10m/s²）．求：
（1）球B在Q點時對軌道的壓力；
（2）AB分離時的速度v；
（3）從撤去力F瞬間到AB分離時，木板對小球做的功．

Answer 1

分析：（1）小球從P到Q做圓周運動，在Q點由重力和軌道的壓力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求解；
（2）AB在彈簧原長處分離后，B上升過程中，只有重力做功，其機械能守恒，據此定律列式即可求得v；
（3）先根據胡克定律和平衡條件求出開始有F作用時彈簧被壓縮的長度．從撤去力F瞬間到AB分離過程，對小球，運用動能定理求解木板對小球做的功．

解答：解：（1）小球在Q點，設軌道對球的壓力大小為N，則根據牛頓第二定律得：
N+mg=m

v 2 Q

R

得：N=m

v 2 Q

R

-mg=0.5×

42

0.4

-0.5×10=15N
所以，根據牛頓第三定律得，球對軌道壓力為：N′=N=15N．
（2）AB在彈簧原長處分離后，B上升過程機械能守恒，則有：

1

2

mv²=mg（R+h）+

1

2

mv_Q²      
得：v=

v 2 Q +2g(R+h)

=

42+2×10(0.4+0.6)

=6m/s       
（3）撤去F到彈簧恢復原長AB分離上升H，根據胡克定律和平衡條件得：
kH=F+（m+M）g   
解得：H=

F+(m+M)g

k

=

20+(0.5+1.5)×10

2000

=0.02m        
設木板對小球做的功為W，從撤去力F瞬間到AB分離過程，對小球由動能定理得：
W-mgH=

1

2

mv²
得到：W=mgH+

1

2

mv²=0.5×10×0.02+

1

2

×0.5×62=9.1J  
答：（1）球B在Q點時對軌道的壓力是15N；
（2）AB分離時的速度v是6m/s；
（3）從撤去力F瞬間到AB分離時，木板對小球做的功是9.1J．

點評：本題是較為復雜的力學綜合題，關鍵要分析物體的運動過程和狀態，選擇研究對象，把握每個過程和狀態的物理規律．