Question

9．皮帶裝置如圖所示，其中AB段是水平的，長度L_AB=4m，BC段是傾斜的，長度L_BC=5m，與水平面成θ=37°角，AB和BC在B點通過一段極短的圓弧連接（圖中未畫出圓弧），傳送帶以v=4m/s的恒定速率順時針運轉．已知工作與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.5，重力加速度g=10m/s²．現將一個質量m=1kg的工件（可看做質點）無初速度地放在A點，求：
（1）工件第一次到達B點所用的時間．
（2）工件沿BC上行時，對傳送帶的摩擦力．
（3）工件沿傳送帶上升的最大高度．
（4）工件運動了23s時距離B點多遠．

Answer 1

分析 （1）工件剛放在水平傳送帶上進行受力分析，運用牛頓第二定律和運動學公式進行求解；
（2）由于mgsinθ＞μmgcosθ，工件相對于傳送帶滑動，得到摩擦力；
（3）由動能定理求解工件上升的最大高度；
（4）由于工件在傳送帶的傾斜段運動時的加速度相同，在傳送帶的水平段運動時的加速度也相同，故工件將在傳送帶上做往復運動，找出這個過程中時間的關系．

解答 解：（1）工件剛放在水平傳送帶上的加速度為a₁
由牛頓第二定律得：μmg=ma₁
解得：a₁=μg=5m/s²
經t₁時間與傳送帶的速度相同，則t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$=0.8 s
前進的位移為x₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=1.6 m
此后工件將與傳送帶一起勻速運動至B點，用時t₂=$\frac{{L}_{AB}{-x}_{1}}{v}$=0.6 s
所以工件第一次到達B點所用的時間：t=t₁+t₂=1.4 s
（2）由于mgsinθ＞μmgcosθ，工件相對于傳送帶滑動，則對傳送帶的摩擦力：f=μmgcosθ=4N
（3）設工件上升的最大高度為h，由動能定理得：（μmgcos θ-mgsin θ）$•\frac{h}{sinθ}$=0-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：h=2.4 m
（4）工件沿傳送帶向上運動的時間為t₃=$\frac{2h}{vsinθ}$=2 s
此后由于工件在傳送帶的傾斜段運動時的加速度相同，在傳送帶的水平段運動時的加速度也相同，故工件將在傳送帶上做往復運動，其周期為T
T=2t₁+2t₃=5.6 s
工件從開始運動到第一次返回傳送帶的水平部分，且速度變為零所需時間：
t₀=2t₁+t₂+2t₃=6.2 s
而23s=t₀+3T
這說明經23s工件運動到傳送帶的水平部分，且恰好速度為零．
故工件在B點左側，到B點的距離x=x₁=1.6 m
答：（1）工件第一次到達B點所用的時間是1.4 s；
（2）工件沿BC上行時，對傳送帶的摩擦力為4N；
（3）工件沿傳送帶上升的最大高度是2.4 m；
（4）工件運動了23s時所在的位置是工件在A點右側，到A點的距離是1.6 m．

點評 本題關鍵分析清楚工件的運動情況，根據牛頓第二定律求解出加速過程的加速度，再根據運動學公式和動能定理列式求解．