Question

15．太陽系各行星可近似看成在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做勻速圓周運(yùn)動．設(shè)天王星公轉(zhuǎn)周期為T₁，公轉(zhuǎn)半徑為R₁；地球公轉(zhuǎn)周期為T₂，公轉(zhuǎn)半徑為R₂．當(dāng)?shù)厍蚝吞焱跣沁\(yùn)行到太陽兩側(cè)，且三者排成一條直線時，（忽略兩者之間的引力作用，萬有引力常量為G）．天王星公轉(zhuǎn)速度小于地球公轉(zhuǎn)速度．（填“大于”或“小于”）；太陽的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{{R}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$；天王星公轉(zhuǎn)的向心加速度與地球公轉(zhuǎn)的向心加速度之比為$\frac{{{R}_{2}}^{2}}{{{R}_{1}}^{2}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，解出速度的表達(dá)式，再判斷大小．根據(jù)萬有引力提供向心力求解太陽的質(zhì)量．根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=ma$，解出加速度的表達(dá)式，再計算其比值．

解答 解：G根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，軌道半徑越大，速度越小，故天王星公轉(zhuǎn)速度小于地球公轉(zhuǎn)速度，
對于天王星繞太陽運(yùn)動，根據(jù)萬有引力提供向心力有：$G\frac{M{m}_{1}}{{{R}_{1}}^{2}}={m}_{1}\frac{4{π}^{2}{R}_{1}}{{{T}_{1}}^{2}}$，
得太陽的質(zhì)量為：$M=\frac{4{π}^{2}{{R}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$，
根據(jù)萬有引力提供向心力有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=ma$，
得：$a=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
所以有：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{{{R}_{2}}^{2}}{{{R}_{1}}^{2}}$．
故答案為：小于；$\frac{4{π}^{2}{{R}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$；$\frac{{{R}_{2}}^{2}}{{{R}_{1}}^{2}}$

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，并能靈活運(yùn)用，知道線速度、角速度、加速度、周期與軌道半徑的關(guān)系，基礎(chǔ)題．