Question

20．如圖所示，一質量為m的小球，用長為L的輕繩懸掛于O點，初始時刻小球靜止于P點．第一次小球在水平拉力F作用下，從P點緩慢地移動到Q點，此時輕繩與豎直方向夾角為θ，張力大小為T₁；第二次在水平恒力F′作用下，從P點開始運動并恰好能到達Q點，至Q點時輕繩中的張力為大小T₂，不計空氣阻力，重力加速度為g，關于這兩個過程，下列說法中正確的是（　　）

• A． 兩個過程中，輕繩的張力均變大
• B． T₁=T₂=$\frac{mg}{cosθ}$
• C． 第一個過程中，拉力F在逐漸變大，且最大值一定大于F′
• D． 第二個過程中，重力和水平恒力F′的合力的功率先減小后增加

Answer 1

分析 第一個過程中，小球處于動態平衡狀態，由平衡條件分析張力的變化．第二次在水平恒力F′作用下，從P點開始運動并恰好能到達Q點，則到達Q點時速度為零，由于重力和拉力都是恒力，可以把這兩個力合成為新的“重力”，則第二次小球的運動可以等效于單擺運動，找出“最低點”，最低點的速度最大，在Q點速度為零，則向心力為零，來分析重力和水平恒力F′的合力的功率如何變化．

解答 解：A、第一次運動過程中，根據幾何關系和平衡條件可知，繩子的拉力 T₁=$\frac{mg}{cosθ}$，θ變大，cosθ變小，所以輕繩的張力變大．
第二次由于重力和拉力都是恒力，可以把這兩個力合成為新的“重力”，則第二次小球的運動可以等效于單擺運動，當繩子方向與重力和F′方向在同一直線上時，小球處于“最低點”，最低點的速度最大，此時繩子張力最大，所以第二次繩子的張力先增大后減小，故A錯誤；
B、第二次小球到Q點的過程中，根據動能定理得：
F′lsinθ=mgl（1-cosθ）
在Q點時向心力為零，則輕繩中的張力為大小 T₂=mgcosθ+F′sinθ=mgcosθ+$\frac{mg（1-cosθ）}{sinθ}$•sinθ=mg，故B錯誤．
C、第一次小球在水平拉力F作用下，從P點緩慢地移動到Q點，則小球處于平衡狀態，根據平衡條件得：F的最大值 F=mgtanθ，隨著θ增大，F逐漸增大．
第二次從P點開始運動并恰好能到達Q點，則到達Q點時速度為零，在此過程中，根據動能定理得：
 F′lsinθ-mgl（1-cosθ）=0
解得：F′=mgtan$\frac{θ}{2}$，因為θ＜90°，所以mgtan$\frac{θ}{2}$＜mgtanθ，則F＞F′，故C正確；
D、第二個過程中，重力和水平恒力F′的合力是個恒力，在等效最低點時，合力方向與速度方向垂直，此時功率最小為零，到達Q點速度也為零，則第二個過程中，重力和水平恒力F′的合力的功率先減小，后增大，再減小為0，故D錯誤．
故選：C

點評 本題的難點在第二次拉動小球運動過程的處理，由于重力和拉力都是恒力，可以把這兩個力合成為新的“重力”，則第二次小球的運動可以等效于單擺運動，根據單擺的知識進行分析．