Question

10．如圖所示，兩根正對的平行金屬直軌道MN、M′N′位于同一水平面上，兩軌道之間的距離l=0.50m．軌道的M、M′之間有一阻值R=0.50Ω的定值電阻，NN′端與兩條位于豎直面內的半圓形光滑金屬軌道NP、N′P′平滑連接，兩半圓軌道的半徑均為R₀=0.50m．直軌道的右端處于豎直向下、磁感應強度B=0.60T的勻強磁場中，磁場區域的寬度d=0.80m，且其右邊界與NN′重合．現有一質量m=0.20kg、電阻r=0.10Ω恰好能放在軌道上的導體桿ab靜止在距磁場的左邊界s=2.0m處．在與桿垂直的水平恒力F=2.0N的作用下ab桿開始運動，當運動至磁場的左邊界時撤去F，導體桿ab穿過磁場區域后，沿半圓形軌道運動，結果恰好通過半圓形軌道的最高點PP′．已知導體桿ab在運動過程中與軌道接觸良好，且始終與軌道垂直，導體桿ab與直軌道之間的動摩擦因數μ=0.10，軌道的電阻可忽略不計，g取10m/s²．求：
（1）導體桿剛進入磁場時，通過導體桿的電流的大小和方向；
（2）導體桿剛穿出磁場時速度的大小；
（3）導體桿穿過磁場的過程中整個電路產生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）先有動能定理求出進入磁場時的速度，導體棒進入磁場時金屬桿切割磁感線，產生感應電流．由法拉第定律和歐姆定律可求得感應電流大小，由右手定則判斷出感應電流方向．
（2）由牛頓第二定律求出導體桿到達軌道最高點時的速度，由機械能守恒定律求出金屬桿穿出磁場時的速度．
（3）回路中機械能轉化為內能，根據能量守恒定律求出電路中產生的焦耳熱．

解答 解：（1）設導體桿在F的作用下運動至磁場的左邊界時的速度為v₁，由動能定理得：
（F-μmg）s=$\frac{1}{2}$mv₁²-0，
導桿剛進入磁場時產生的感應電動勢為：E=Blv₁，
此時通過導體桿的電流大小為：I=$\frac{E}{R+r}$，
代入數據解得：I=3.0A，
由右手定則可知，電流的方向為由b指向a；
（2）設導體離開磁場時的速度為v₂，運動到圓軌道最高點的速度為v₃，因導桿恰好能以最小速度通過圓軌道最高點，由牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{{R}_{0}}$，
導體桿從MN′到PP′的過程，由機械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₃²+mg•2R₀，
代入數據解得：v₂=5.0m/s；
（3）由能量守恒定律得：導體桿穿過磁場的過程中損失的機械能：△E=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²，
導體桿穿過磁場的過程中整個電路產生的焦耳熱為：Q=△E-μmgd，
代入數據解得：Q=0.94J；
答：（1）導體桿剛進入磁場時，通過導體桿的電流大小為3A，方向：由b指向a；
（2）導體桿剛穿出磁場時的速度大小為5m/s；
（3）導體桿穿過磁場的過程中整個電路產生的焦耳熱為0.94J

點評 本題首先要分析導體棒的運動過程，分三個子過程進行研究；其次要掌握三個過程遵守的規律，運用動能定理、能量守恒、牛頓第二定律、機械能守恒等聯合求解．