Question

如圖所示，在直角坐標系的第一、二象限內有垂直于紙面的勻強磁場，第三象限有沿y軸負方向的勻強電場；第四象限無電場和磁場．現有一質量為m、電荷量為q的粒子以速度v0從y軸上的M點沿x軸負方向進入電場，不計粒子的重力，粒子經x軸上的N點和P點最后又回到M點，設OM=L，ON=2L．求：
（1）帶電粒子的電性，電場強度E的大�。�
（2）帶電粒子到達N點時的速度大小和方向；
（3）勻強磁場的磁感應強度的大小和方向；
（4）粒子從M點進入電場，經N、P點最后又回到M點所用的時間．

Answer 1

分析：（1）分析帶電粒子的運動情況：電子在電場中，受到豎直向上的電場力而做類平拋運動（或勻變速曲線運動）；根據粒子受力的方向與電場線方向的關系判斷出粒子的電性；根據平拋運動的規律求出電場強度；
（2）根據勻變速直線運動的規律求出粒子在y方向的分速度，然后使用平行四邊形定則求出帶電粒子到達N點時的速度大小和方向；
（3）進入磁場做勻速圓周運動； 畫出軌跡，根據圖象中的幾何關系求得圓周運動的半徑；根據洛倫茲力提供向心力，寫出動力學的方程，求得磁場的強度；
（4）分三段過程研究時間：電場中、磁場中和離開磁場后做勻速直線運動的時間．磁場中根據軌跡的圓心角α，由t=

α

2π

T求時間．由幾何知識得到勻速直線運動的距離，即可求出勻速運動的時間．再根據幾何知識求出磁場中運動的半徑，求出T，即可求得總時間．

解答：解：（1）粒子從M至N運動過程粒子逆著電場線的方向發生偏轉，說明受力的方向與電場線的方向相反，所以粒子帶負電．
粒子從M至N運動過程做類平拋運動，有：L=

1

2

a

t

2 1

      ①
加速度a=

qE

m

               ②
運動時間t1=

2L

v0

       ③
由①②③得電場強度E=

ma

q

=

m

q

?

2L

t 2 1

=

m v 2 0

2qL

          ④
（2）到達N時：v_y=at₁
設v_N與x成θ角tanθ=

vy

v0

=1所以：θ=45°
帶電粒子到N點速度vN=

v 2 0 + v 2 y

=

2

v0     ⑤
（3）帶電粒子在磁場中做圓周運動的軌跡如圖所示，由左手定則可得：粒子帶負電荷．
圓心在O′處，設半徑為R，由幾何關系知帶電粒子過P點的速度方向與x成45°角，則OP=OM=L
則R=

3L

2

                            ⑥
由牛頓第二定律得：qvNB=

m v 2 N

R

         ⑦
由⑥⑦解得B=

2mv0

3Lq

（4）由圖可知，粒子在磁場中運動的圓弧的圓心角為270°，設運動的時間為t₂，t2=

3

4

?

2πR

vN

=

9πL

4v0

電子從P點到M點做勻速直線運動，設運動的時間為t₃：t3=

2 ? . oM

vN

=

2 L

2 v0

=

L

v0

故總時間為t_總=t₁+t₂+t₃=

3L

v0

+

9πL

4v0

=

(12+9π)L

4v0

    ⑧
答：（1）帶電粒子的帶負電，電場強度E=

m v 2 0

2qL

；
（2）帶電粒子到達N點時的速度大小為

2

v0，方向與x軸的負方向的夾角是45°；
（3）勻強磁場的磁感應強度的大小為B=

2mv0

3Lq

，方向垂直于紙面向里；
（4）粒子從M點進入電場，經N、P點最后又回到M點所用的時間是

(12+9π)L

4v0

．

點評：熟悉類平拋運動的處理方式，把平拋運動分解成相互垂直方向的勻速直線運動和初速度為0的勻加速直線運動，通過分運動的處理得到合運動的性質．畫出軌跡，運用幾何知識求出磁場中運動的半徑，即可求出時間．