Question

一宇航員抵達一半徑為R的星球兩極的表面后，為了測定該星球的質量M，做如下的實驗，取一根細線穿過光滑的細直管，細線一端栓一質量為m的砝碼，另一端連在一固定的測力計上，手握細線直管掄動砝碼，使它在豎直平面內做半徑為L的完整的圓周運動，停止掄動細直管，砝碼可繼續在同一豎直平面內做完整的圓周運動，且砝碼恰能通過圓周運動的最高點，如圖所示．此時觀察得到當砝碼運動到圓周最高點位置時，砝碼的速度為v．
已知引力常量為G，試根據題中所提供的條件和測量結果，求：
（1）該星球表面重力加速度；
（2）該星球的質量M；
（3）若將物體置于該星體的赤道處，發現它對地面的壓力比在兩極處時物體對地面的壓力小10%，求該星體自轉周期．

Answer 1

【答案】分析：在豎直平面內做圓周運動，恰能過通圓周的最高點，意思是在最高點時物體受到的重力完全提供向心力，即滿足重力等于向心力，據此列式可得星球表面的重力加速度g，又據星球兩極表面重力等于萬有引力，已知星球的表面加速度和星球半徑，則可得星球的質量；由題設知赤道處地面對物體的支持力，物體所受萬有引力和地面的支持力的合力提供物體隨星球自轉的向心力，列式可得星球自轉的周期．
解答：解：
（1）若砝碼恰能通過圓周運動的最高點，則此時繩上作用力為零，物體所受重力提供物體做圓周運動的向心力得：

代入數據得：星球表面的重力加速度g=
（2）由于星球圍繞地軸轉動，故在兩極處有G=F_萬則有：

∴M==
（3）在兩極處，由于地轉半徑為零，物體對地面的壓力大小等于物體受到的萬有引力，故在赤道處物體對地面的壓力為兩極處小10%，即物體受到地面的支持力為萬有引力的90%．
又物體受到星球的萬有引力和地面支持力的合力提供物體隨星球自轉的向心力，故有：

代入M=得T=
答：（1）該星球表面的重力加速度為g=
（2）該星球的質量為M=
（3）該星球的自轉周期為T=
點評：解答本題需要掌握：（1）在星球兩極，物體所受的重力等于物體受到星球的萬有引力；
（2）在豎直平面內做圓周運動的特殊點（最高點或最低點）物體所需向心力來源問題；
（3）自轉物體向心力來源問題．